小學數學奧數基礎教程(五年級) 05.doc

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?小學數學奧數基礎教程(五年級)--05小學數學奧數基礎教程(五年級)木教程共30講數的整除性(一)三、四年級已經學習了能被2, 3, 5和4, 8, 9, 6以及11整除的數的特征,也學習了 —些整除的性質。這兩講我們系統地復習一下數的整除性質,并利用這些性質解答一些問 題。數的整除性質主要右:(1) 如果甲數能被乙數整除,乙數能被內數整除,那么甲數能被丙數整除。(2) 如果兩個數都能被一個自然數整除,那么這兩個數的和與差都能被這個自然數整 除。(3) 如果一?個數能分別被兒個兩兩互質的自然數整除,那么這個數能被這兒個兩兩互 質的自然數的乘積整除。(4) 如果一個質數能整除兩個自然數的乘積,那么這個質數至少能整除這兩個口然數 屮的一個。(5) 幾個數相乘,如果其屮一個因數能被某數整除,那么乘積也能被這個數整除。靈活運用以上整除性質,能解決許多右關整除的問題。例1在□里填上適當的數字,使得七位數口7358D□能分別被9, 25和8整除。分析與解:分別由能被9, 25和8整除的數的特征,很難推斷出這個七位數。因為9, 25, 8兩兩互質,由整除的性質(3)矢口,七位數能被9X25X8二1800整除,所以七位數 的個位,十位都是0;再由能被9整除的數的特征,推知首位數應填4。這個七位數是 4735800。例2由2000個1組成的數111?11能占被41和271這兩個質數整除?分析與解:因為41X271=11111,所以由每5個1組成的數11111能被41和271整除。 按“11111”把2000個1每五位分成一節,20004-5=400,就有400節,1111,1111,-llllov >400 個 11111因為2000個1組成的數11,,11能被11111整除,而11111能被41和271整除,所以根 據整除的性質(1)可知,由2000個1組成的數111?11能被41和271整除。例3現有四個數:76550, 76551, 76552, 76554。能不能從中找出兩個數,使它們的乘 積能被12整除?分析與解:根據有關整除的性質,先把12分成兩數Z積:12二12X1二6X2二3X4。要從匕知的四個數屮找出兩個,使其積能被12整除,有以下三種情況:(1) 找出一■個數能被12整除,這個數與其它三個數屮的任何一?個的乘積都能被12整 除;(2) 找出一個數能被6整除,另一個數能被2整除,那么它們的積就能被12整除;(3) 找出一個數能被4整除,另一個數能被3整除,那么它們的積能被12整除。容易判斷,這四個數都不能被12整除,所以第(1)種情況不存在。對于第(2)種情 況,四個數中能被6整除的只有76554,而76550, 76552是偶數,所以可以選76554和 76550, 76554 和 76552。對于第(3)種情況,四個數中只H 76552能被4整除,76551和76554都能被3整除, 所以可以選 76552 和 76551, 76552 和 76554。綜合以上分析,去掉相同的,可知兩個數的乘積能被12整除的令以下三組數:76550和 76554, 76552 和 76554, 76551 和 76552。例4在所有五位數屮,各位數字之和等于43且能夠被11整除的數右哪些?分析與解:從題設的條件分析,對所求五位數有兩個要求:①各數位上的數字之和等 于43;②能被11整除。因為能被11整除的五位數很多,而各數位上的數字Z和等于43的五位數較少,所以應 選擇①為突破口。有兩種情況:(1) 五位數由一個7和四個9組成;(2) 五位數由兩個8和三個9組成。上血兩種情況屮的五位數能不能被11整除? 9, 8, 7如何擺放呢?根據被11整除的數 的特征,如果奇數位數字之和是27,偶數位數字之和是16,那么差是11,就能被11整 除。滿足這些要求的五位數是:97999, 99979, 989890例5能不能將從1到10的各數排成一?行,使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除?分析與解:10個數排成一行的方法很多,逐一試驗顯然行不通。我們采川反證法。假設題目的要求能實現。那么由題意,從前到后每兩個數一組共有5組,每組的兩數之 和都能被3整除,推知1?10的和也應能被3整除。實際上,1?10的和等于55,不能被 3整除。這個孑盾說明假設不成立,所以題日的要求不能實現。練習51. 已知4205和2813都是29的倍數,1392和7018是不是29的倍數?2. 如果兩個數的和是64,這兩個數的積可以整除4875,那么這兩個數的差是多少?3.173□是個四位數。數學老師說:“我在這個□屮先后填入3個數字,所得到的3個 四位數,依次可以被9, 11, 6整除?!眴枺簲祵W老師先后填入的3個數字之和是多少?4.用1~6六個數字組成一個六位數abcdef,其中不同的字母代表1~6中不同的數字。要求正能被2整除,贏能被3整除,品喬能被4整除,正贏是5的倍數,融疋是6的倍數。這樣的六位數有幾個?各是多少?5?紅光小學五年級二班期末數學考試平均分是90分,總分是A95B,這個班有多少名學生?6.能不能將從1到9的各數排成一行,使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除?練習51. 是。提示:7018和1392分別是4205與2813的和與差。2. 14。提示:已知這兩個數的積可以整除4875,說明這兩個數都是4875的因數。4875二 3X5X5X5X13,用這些因子湊成兩個數,使它們的和是64,顯然這兩個數是3X13=39 和5X5=25。它們的差是39-25=14o3. 19o提示:先后填入的三個數依次是7, 8, 4o4. 123654 和 321654c提示:由題意知,b, d, f是偶數,e= 5,所以m c只能是1和3。因為abc是3的倍數,所以臼 + b + c能被3整除,推知b = 2。又abed能被4整除,所以cd能被4整除,由c = l或3知,d =6,進而知f=4,所求數為123654和321654。5. 55 人 °提示:總分等于平均分乘以學生人數,因為平均分90=9X10,所以總分厲更能被9, 10整除,推知B = 0, A = 4。所求學生人數是4950^90 = 55(人)。6. 不能。提示:假設能。因為前兩個數的和能被3整除,第2、第3個數的和也能被3整除,所 以第1、第3兩個數除以3的余數相同。類似可知,排在第1, 3, 5, 7, 9位的數除以3 的余數都相同。在1?9中,除以3的余數相同的數只有3個,不可能有5個。這個孑盾 說明假設不成立。
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