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高考變化率與導數、導數的計算試題以及解析(文數).ppt

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【考綱下載】1. 了解導數概念的實際背景.2.理解導數的幾何意義.3.能根據導數定義求函數y=c(c為常數),y=x,y=x2,y= 的導數.4.能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.第11講 變化率與導數、導數的計算1.平均變化率與瞬時變化率 (1)f(x)從x1到x2的平均變化率是 ?。健?    . (2)f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:   ?。健  ?       .y′|x=x0f′(x0)2.導數的概念(1)f(x)在x=x0處的導數是f(x)在x=x0處的瞬時變化率.記作:     或    , 即 f′(x0)=         ; (2)當把上式中的 x0看作變量x時, f′(x)即為f(x)的 , 簡稱導數, 即y′= f′(x) = ;導函數3.導數的幾何意義 函數f(x)在x=x0處的導數就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處 的 ,切線方程 為      ?。芯€的斜率,即k=f′(x0)y-y0=f′(x0)(x-x0)(1)C′=0(C為常數),(2)(xn)′=   (n∈Q*),(3)(sin x)′= ,(4)(cos x)′=     ,(5)(ax)′=     ,(6)(ex)′=   ,(7)(logax)′=    ,(8)(ln x)′=  .nxn-1cos x-sin xaxln aex4.基本初等函數的導數公式u′±v′uv′+u′vmu′5.兩個函數的四則運算的導數若u(x)、v(x)的導數都存在,則(1)(u±v)′=    ,(2)(u·v)′=      ,(3)  ′=       (v≠0),(4)(mu)′=    (m為常數).1.如果質點A按規律s=2t3(s的單位是m)運動,則在t=3 s時的瞬時 速度為(  )                   A.6 m/s B.18 m/s C.54 m/s D.81 m/s 解析:∵s′=6t2,∴s′|t=3=54. 答案:CA.-1 B.-2 C.1 D.(  )解析:答案:B3.函數y=xcos x-sin x的導數為(  ) A.xsin x B.-xsin x C.xcos x D.-xcos x 解析:∵y′=(xcos x-sin x)′=(xcos x)′-(sin x)′ =x′cos x+x(cos x)′-cos x=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 答案:B4.(2009·寧夏、海南卷)曲線y=xex+2x+1在點(0,1)處的切線方程 為______________. 解析:∵y′=ex+xex+2=(x+1)ex+2, ∴y′|x=0=1+2=3. ∴切線方程為:y-1=3x,即3x-y+1=0. 答案:3x-y+1=0由導數的定義可知,求函數y=f(x)的導數的一般方法是:1.求函數的改變量Δy=f(x+Δx)-f(x); 2.求平均變化率簡記作:一差、二比、三極限.求函數的導數要準確地把函數拆分為基本函數的和、差、積、商及其復合運算,再利用運算法則求導數.在求導過程中,要仔細分析函數解析式的結構特征,緊扣求導法則,聯系基本函數求導公式.對于不具備求導法則結構形式的要適當恒等變形;對于比較復雜的函數,如果直接套用求導法則,會使求導過程繁瑣冗長,且易出錯,此時,可將解析式進行合理變形,轉化為較易求導的結構形式,再求導數.但必須注意變形的等價性,避免不必要的運算失誤.(1)y=(2x2-3x)(3x+2);(2)y=x2·cos x; 思維點撥:(1)先化簡后求導;(2)直接利用導數公式和導數運算法則計算.解:(1)y=(2x2-3x)(3x+2)=6x3-5x2-6x,∴y′=18x2-10x-6.(2)y′=(x2·cos x)′=(x2)′·cos x+x2·(cos x)′=2xcos x-x2sin x. 【例2】 求下列函數的導數. 曲線切線方程的求法1.以點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求法 (1)求出f(x)的導函數f′(x); (2)將x0代入f′(x)得到切線的斜率f′(x0); (3)寫出切線方程:y=f′(x0)(x-x0)+f(x0),并化簡.2.如果已知點(x0,y0)不是切點或不在曲線y=f(x)上,需設出切 點(x1,f(x1)),根據y0-f(x1)=f′(x1)(x0-x1),求出x1的值,進而求解.【例3】 已知曲線 (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程; (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程.解:(1)∵y′=x2,∴在點P(2,4)處的切線的斜率k=y′|x=2=4.∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)設曲線 與過點P(2,4)的切線相切于點則切線的斜率∵點P(2,4)在切線上,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.解:設切點為P(x0,y0),對y=x3-a求導數得y′=3x2, ∴x0=±1.當x0=1時,∵P(x0,y0)在y=3x+1上,∴y0=3×1+1=4,即P(1,4).又P(1,4)也在y=x3-a上,∴4=13-a,∴a=-3;當x0=-1時,∵P(x0,y0)在y=3x+1上,∴y0=3×(-1)+1=-2,即P(-1,-2).又P(-1,-2)也在y=x3-a上,∴-2=(-1)3-a,∴a=1.綜上可知,實數a的值為-3或1. 變式3:若直線y=3x+1是曲線y=x3-a的一條切線,求實數a的值. 根據導數的幾何意義和已知條件,建立關于參數的方程,解出參數即可.【例4】 已知函數f(x)=2x3+ax與g(x)=bx2+c的圖象都過點P(2,0), 且在點P處有公共切線,求f(x) 、g(x)的表達式. 思維點撥:用導數的幾何意義,確定切線、切點、斜率, 建立關于參數的方程求解. 解:∵f(x)=2x3+ax圖象過點P(2,0),∴a=-8, ∴f(x)=2x3-8x,∴f′(x)=6x2-8. 對于g(x)=bx2+c,圖象過點P(2,0),則4b+c=0. 又g′(x)=2bx,g′(2)=4b=f′(2)=16,∴b=4, ∴c=-16,∴g(x)=4x2-16. 綜上可知,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.【方法規律】1.弄清“函數在一點x0處的導數”、“導函數”、“導數”的區別與聯系. (1)函數在一點處的導數f′(x0)是一個常數,不是變量. (2)函數的導數,是針對某一區間內任意點x而言的.函數f(x)在區間(a,b)內每一點都可導,是指對于區間(a,b)內的每一個確定的值x0,都對應著一個確定的導數f′(x0),根據函數的定義,在開區間(a,b)內就構成了一個新的函數,也就是函數f(x)的導函數f′(x). (3)函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在點x=x0處的函數值. 2.求曲線切線時,要分清點P處的切線與過P點的切線的區別,前者只有一 條,而后者包括了前者.【高考真題】(2009·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,點P在曲線C:y=x3-10x+3上,且在第二象限內,已知曲線C在點P處的切線的斜率為2,則點P的坐標為________.【規范解答】解析:由曲線C:y=x3-10x+3,得y′=3x2-10.又根據導數的幾何意義,得3x2-10=2,所以x=±2.又點P在第二象限內,所以x=-2,即點P的橫坐標為-2.將x=-2代入曲線方程,得y=15,所以點P的坐標為(-2,15).故填(-2,15).答案:(-2,15)【探究與研究】本題主要考查導數的幾何意義.考題的命制,直接給出曲線方程及切線斜率,意在直接利用導數的幾何意義解決問題,考題設計重基礎,淡技巧,同時也考查了考生的運算能力.利用導數的幾何意義等求函數在某一點的坐標或某一點處的切線方程是高考常常涉及的問題.這類問題一般難度不大,只要抓住基礎,靈活應用,準確計算,都能輕松解決問題.利用導數的幾何意義求解曲線上某點處切線的斜率或曲線上某點的坐標或過某點的切線方程,這類問題的關鍵就是抓住切點,就可以通過切點解決其相關的問題.點擊此處進入 作業手冊
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導數 試題 計算 變化 以及 高考 解析
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