高等數學課件D9最小二乘法.ppt

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第九章 *選修內容問題的提出:已知一組實驗數據求它們的近似函數關系 y=f (x) .需要解決兩個問題: 1. 確定近似函數的類型 根據數據點的分布規律 根據問題的實際背景2. 確定近似函數的標準 實驗數據有誤差,不能要求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 最小二乘法 Date高等數學課件 偏差有正有負, 值都較小且便于計算, 可由偏差平方和最小 為使所有偏差的絕對來確定近似函數 f (x) .最小二乘法原理:設有一列實驗數據分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數關系稱為經驗公式 ., 它們大體 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Date高等數學課件特別, 當數據點分布近似一條直線時,問題為確定 a, b 令滿足:使得解此線性方程組即得 a, b稱為法方程組機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Date高等數學課件例1.為了測定刀具的磨損速度, 每隔 1 小時測一次刀具的厚度, 得實驗數據如下:找出一個能使上述數據大體適合的經驗公式. 解: 通過在坐標紙上描點可看出它們大致在一條直線上,列表計算:故可設經驗公式為27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Date高等數學課件得法方程組解得 故所求經驗公式為0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為衡量上述經驗公式的優劣, 計算各點偏差如下: Date高等數學課件稱為均方誤差, 對本題均方誤差它在一定程度上反映了經驗函數的好壞. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 偏差平方和為27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 -0.125 -0.018 0.189 -0.003-0.021 0.086 0.093 -0.200 Date高等數學課件例2. 在研究某單分子化學反應速度時, 得到下列數據:57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 241 2 3 4 5 6 7 8其中? 表示從實驗開始算起的時間, y 表示時刻 ? 反應 物的量. 試根據上述數據定出經驗公式解:由化學反應速度的理論知, 經驗公式應取其中k , m 為待定常數.對其取對數得(線性函數)(書中取的是常用對數)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Date高等數學課件因此 a , b 應滿足法方程組: 經計算得 解得: 所求經驗公式為其均方誤差為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Date高等數學課件觀測數據:用最小二乘法確定a, b 通過計算確定某些經驗公式類型的方法:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Date高等數學課件
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