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《幾何概型》教學設計.doc

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?《幾何概型》教學設計遷安體育運動學校 陳碧峰一、教學內容解析《幾何概型》是高中教材必修三第3章第3節的內容,安排在《隨機事件及其概率》和《古典概型》兩節之后,是在學生學習了概率的統計定義和等可能定義之后學習的.本小節大致安排教學兩課時, 本節課是第一課時,是一節概念新授課.幾何概型是在古典概型基礎上的進一步發展,是繼“古典概型”之后的第二類等可能概率模型,是等可能事件的概念從有限向無限的延伸.學好幾何概型,對學生全面系統地掌握概率知識及辯證思想的進一步形成具有重要作用.幾何概型的關鍵是尋找合理的幾何模型,通過建立無限個等可能基本事件與幾何模型中特定區域的對應關系,用幾何區域的測度刻畫無限個等可能基本事件,達到求解相關概率問題的目的,體現了抽象概括建立模型的思想方法和數形結合的思想方法,是概率問題與幾何問題的一種完美結合.教學中通過讓學生對豐富而具體的實例的觀察、分析、歸納、抽象,親歷幾何概型的概念建構過程,使學生經歷對事物從特殊到一般,從具體到抽象,從感性到理性的認知過程,逐步養成透過事物的表象把握本質的思維方法,培養學生的理性思維能力、抽象概括能力和數學建模能力,增強學生的辯證唯物主義世界觀,進一步樹立科學的人生觀、價值觀.本節課的教學重點:幾何概型概念的建構和建立合理的幾何模型進行簡單的幾何概率計算.二、教學目標設置結合《普通高中數學課程標準》對高中數學課程的總目標以及對幾何概型的教學要求“初步體會幾何概型的意義”,我將本節課的具體教學目標確定為以下三點:1. 通過對具體實例的觀察和分析,了解幾何概型的兩個基本特點,并會判斷實際問題中的概率模型是否為幾何概型.2. 經歷幾何概型的概念建構過程, 感受數學的拓廣過程, 體會從感性到理性的思維過程,提高數學歸納能力和數學抽象能力.3. 會通過建立合理的幾何模型進行簡單的幾何概率計算, 注重建模過程,體會數形結合思想.三、學生學情分析 初中教材中已涉及到個別簡單的幾何概型問題,學生憑借直覺與生活經驗能把問題的結果計算出來,但缺少從數學的內部對問題的理解.本節課的教學目的也正是在學生已有認知的基礎上對概念的完善與系統化.在本章中,學生已經學習了概率的統計定義和古典概型,掌握了兩種計算事件發生概率的方法:一是用頻率估計概率;二是用古典概型的公式來計算概率.在《古典概型》一節中學生已經會把事件分解成等可能基本事件,知道它的兩個特點是等可能性和有限性,并經歷了從基本事件的角度建構了古典概型的定義和概率計算公式.類比古典概型,通過分析基本事件,學生容易知道幾何概型中基本事件的特點是等可能性與無限性.但學生對無限個等可能基本事件的量化具有困難,需要教師引導.在運用公式解決實際問題時,選擇合適的模型,將實際問題轉化幾何概型問題對學生來說比較困難.我校為農村普通高中,招收的學生大部分基礎薄弱,自主學習能力差.進入高一,雖然能領悟一些基本的數學思想與方法,但還沒有形成完整、嚴謹的數學思維習慣,對問題的探究能力也有待培養.本課教學難點:幾何概型概念的建構及解決實際問題時如何從背景中確定特定幾何區域及其測度. 為突破難點,在概念建構過程中我結合分析內容形成框圖,利用框圖直觀的表示無限個等可能基本事件與幾何模型中特定區域的對應關系,有助于學生理解概念,并為在實際應用中合理建模打下基礎.而在應用階段,我通過適當改造和增補例題與練習,分步化解難點,逐步提高思維的層次,深化學生對概念和公式的理解,培養學生的思維能力,提高學生的建模能力.四、教學策略分析根據以上分析,本節課結合啟發式教學原則,采用學生探究與教師講授相結合的教學方法,結合多媒體輔助教學.教學的過程,是一個再加工,再創造的過程,是把已經濃縮為結論的這一本來富有生命力的知識的形成過程重新演繹的過程.依據幾何概型的發生發展過程和學生的思維規律,我通過設置情境導入,復習回顧,探究分析,概念建構,數學應用,回顧總結六個環節來開展教學.教學中,首先選擇了初中教材選學部分涉及的一個簡單幾何概型問題作為先行組織材料,通過先憑直覺計算概率,再類比古典概型分析計算的合理性,最后通過試驗驗證結果的正確性,讓學生從已有認知經驗出發,從直觀的計算到理性的分析來初步感受幾何概型的特點.然后再提供兩個不同背景的實例,讓學生進行探究并交流,最后通過對三個實例的觀察、分析、歸納、抽象,親歷幾何概型的概念建構過程.在教學過程中,我以“問題串”為載體,以問題引領教學,以問題驅動學生主動參與知識建構、合作探究.所設置的問題讓學生跳一跳就能夠得到,激發學生的學習主動性.在學生探究與討論過程中,我加入到思維能力薄弱的小組中,及時給予引導和提示,力爭讓所有學生都能在嘗試、探索的過程中,體會數學知識的形成和發展過程.因此,我的教學理念是過程性、問題性和主體性.五、教學過程(一)問題情境情境1 取一個邊長為2a的正方形及其內切圓,隨機地向正方形內投一粒米,(假設米粒能落在正方形內任意一點且米粒的面積不計),求米粒落入圓內的概率.(人教版九年級數學上冊P147試驗與探究)問題1:請解答并說明解答依據.師生活動:學生用內切圓與正方形面積之比表示了概率,但無法說出這樣計算的理論依據.【設計意圖】創造性地使用教材,將初中教材中已出現但沒有深入研究的一個簡單的幾何概型問題作為情境引入,學生憑直覺和經驗能算出結果,但缺少理論的支撐,以此激發學生的探求欲望,促使學生由對問題的感性認識轉向理性思考.(二)復習回顧問題2:我們已有哪些求隨機事件概率的方法?師生活動:通過問題讓學生回顧已有的計算隨機事件概率的方法及古典概型的兩個特點. 【設計意圖】在學生無法回答情境1的解答依據時,引導他們回顧已有求概率的方法.為從數學內部研究情境1提供 “先行組織者”,給學生類比的對象和方法. (三)探究分析問題3: 我們從什么角度對情境1展開分析?師生活動:通過教師追問,引起學生思考.生:我們也從基本事件角度對情境1展開分析.師:具體分析哪些問題?生:①試驗中每一個基本事件是什么?②每個基本事件是否等可能?③所有基本事件共有多少個?④指定事件中有多少個基本事件?師: 請大家就以上4個小問題對情境1展開分析.生:試驗中的一個基本事件應該是米落在正方形內的一個點,每一個基本事件的發生都是等可能的,這樣的基本事件共有無限個,指定事件含有的基本事件也是無限個.師:是古典概型嗎?生:不是,古典概型中所有的基本事件只有有限個,而這里是無限個.師:那我們就無法用數值來表示基本事件的個數m和n了.那它與古典概型有相同之處嗎?生:有,每一個基本事件的發生都是等可能的.【設計意圖】引導學生從已有知識經驗出發,類比熟知的古典概型問題,從基本事件的角度出發對問題1進行分析.通過分析發現此問題仍是一個等可能模型,不同于古典概型的是基本事件的個數由有限個變成無限個,無法用數值刻畫,從而形成認知沖突.問題4:如何刻畫不易計數的無限個等可能基本事件?師生活動:教師引導學生分析,每個基本事件與正方形內一個點對應,所有基本事件與正方形對應,所求事件與內切圓對應,從而將基本事件的個數之比用內切圓與正方形的面積之比合理的替代.教師在黑板上板書上述對應關系.【設計意圖】通過引導學生分析得到基本事件與點對應,所求事件與幾何圖形對應,從而將基本事件的個數之比用幾何圖形的面積之比合理的替代,說明計算的合理性,讓學生初步感知數形結合的思想方法,同時為后面形成幾何概型形式化的定義做鋪墊.問題5:你有辦法驗證結果的正確性嗎?師生活動:學生提出驗證的試驗方案與試驗注意點,教師多媒體演示投米粒試驗,師生合作驗證了計算結果的正確性.教師追問,學生思考.師:當投到正方形內的點數很多時,同學們有什么發現?生:這些點幾乎把整個正方形填滿了.師:對,這就用圖形直觀地反映了所有的基本事件與正方形相對應.這種對應反映了我們數學中的一種什么思想?生:數形結合.【設計意圖】通過多媒體演示投米粒實驗,用頻率估計概率,進一步驗證了計算結果的正確性.后面的追問讓學生進一步體會數形結合思想在解決問題中的作用. 師:將情境1中的紅色區域移動位置,或改變其形狀和大小,概率發生變化了嗎?由此你能發現什么?【設計意圖】通過對情境中幾何圖形的變化,引發學生對幾何概型本質特征的思考,幫助學生理解“事件A發生的概率只與紅色區域的面積成正比,而與其位置、形狀無關”.問題6:請參照情境1的研究思路對情境2和情境3進行分析.情境2 取一根長度為3m的繩子,將繩子拉直后, 在繩子上隨機選擇一點, 在該點處剪斷. 那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大?        情境2 情境3情境3 一個棱長為20cm盛滿水的正方體水池中有一個病毒, 病毒可能出現在水池中的任意一個位置, 它距離水池底不超過5cm的概率是多少?師生活動:學生自由選擇一個情境,類比情境1展開分析,給出解答并說明理由,教師予以點評.【設計意圖】情境2、情境3分別是以長度之比、體積之比表示概率的,采用不同的度量量之比,給予學生更豐富的體驗.在這兩個問題中,我們始終將對“基本事件”的分析作為解決概率問題的著眼點,進一步從等可能性、無限性兩方面來區別古典概型與幾何概型,深化學生對幾何概型基本特征的體會.(四)建構數學問題7:請結合前面的分析,總結三個試驗具有的共同特點.師生活動:在教師的引導下,學生經過觀察、分析,歸納,分三個層次總結三個試驗的共同點即第一層基本事件及其特點,第二層指定事件A發生的條件,第三層指定事件A的概率的表示方法.教師結合學生的分析,完善框圖,將無限個等可能基本事件與幾何模型中特定區域的對應關系直觀體現:師生共同完成幾何概型的特點、幾何概型的概念和概率計算公式的建構.【設計意圖】通過讓學生對豐富而具體的實例的觀察、分析、歸納、抽象,親歷幾何概型的概念建構過程,使學生經歷對事物從特殊到一般,從具體到抽象,從感性到理性的認知過程,逐步養成透過事物的表象把握本質的思維方法,培養學生的理性思維能力、抽象概括能力.(五)數學應用例1 射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環.從外向內為白色、黑色、藍色、紅色,靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm.運動員在70m外射箭.假設射箭都能中靶,且射中靶面內任一點都是等可能的,那么射中黃心的概率為多少? 師生活動:學生分析試驗中的基本事件及其特點,判斷該問題為幾何概型,確定D,d區域及測度.教師板書示范解題過程,并引導學生歸納解題步驟:記→判→算→答.【設計意圖】例1是對所學概念和公式的一個簡單應用.其形式與情境1類似,但學生對問題的認識已由感性上升至理性,開始嘗試著運用所學理論從數學內部對問題展開分析和解答. 解題步驟的歸納讓學生體會規范的書寫是思維過程的完美再現.練習 在1L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機取出10mL,其中含有麥銹病種子的概率是多少?師生活動:學生獨立完成,教師點評.學生總結解決幾何概型問題的分析思路.【設計意圖】練習題中的背景沒有例1直觀,需要學生理性分析,抽象出基本事件對應的幾何區域,有助于學生養成透過事物的表象把握本質的思維方法 .例2 在等腰直角三角形中,在斜邊上任取一點,求小于的概率. 例2圖 變式圖師生活動:師生共同分析,解答.師:請同學們比較例1和例2 ,哪個問題簡單點?【設計意圖】例2中的區域d需要學生確定,這是建模的一個難點.這里通過對兩個例題的比較,提煉出“確定區域找臨界”這一方法,從而突破了這個難點. 變式 在等腰直角三角形ABC中,過直角頂點C在∠ABC內部任取一條射線CM,與線段AB交于點M,求小于的概率. 師生活動:學生嘗試解答,相互交流.教師多媒體演示,確定等可能基本事件及其對應幾何區域.【設計意圖】測度的確定也是建模的一個難點,通過對兩個背景相似而基本事件不同的問題的對比研究,引導學生發現當等可能的角度不同時,測度不同,其概率值也會發生改變,從而突破確定測度這一難點.對變式的研究加強了學生對幾何概型本質的進一步認識,形成嚴謹的數學思維習慣. (六)回顧小結:問題8:通過本節課的學習,你掌握了哪些知識?學會了哪些方法?經歷了怎樣的研究過程?獲得了什么體會?你還有什么疑問?師生活動:學生思考,回答,教師適當點撥,補充.【設計意圖】通過問題引領學生進行回顧總結,歸納本課內容,提煉思想方法,總結學習經驗,使學生在頭腦中形成關于本課內容的一個清晰的知識結構.(七)課后作業 1.某人午休醒來,發覺表停了,他打開收音機想聽電臺整點報時,求他等待的時間短于10分鐘的概率.2.研究性作業:請你利用所學知識設計一個方案計算下圖中心形區域的面積.
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