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考研數學一試題及答案解析.doc

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?2007年數學一一、選擇題:(本題共10小題,每小題4分,共40分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1) 當時,與等價的無窮小量是(A) . (B) . (C) . (D) .  [ B ]【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式,盡量將四個選項先轉化為其等價無窮小量,再進行比較分析找出正確答案.【詳解】當時,有;; 利用排除法知應選(B). (2) 曲線,漸近線的條數為(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.  [ D ]【分析】 先找出無定義點,確定其是否為對應垂直漸近線;再考慮水平或斜漸近線?!驹斀狻?因為,所以為垂直漸近線;又 ,所以y=0為水平漸近線;進一步,=,= =,于是有斜漸近線:y = x. 故應選(D).(3) 如圖,連續函數y=f(x)在區間[?3,?2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間[?2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設則下列結論正確的是(A) . (B) . (C) . (D) .  [ C ]【分析】 本題考查定積分的幾何意義,應注意f(x)在不同區間段上的符號,從而搞清楚相應積分與面積的關系?!驹斀狻?根據定積分的幾何意義,知F(2)為半徑是1的半圓面積:,F(3)是兩個半圓面積之差:=,因此應選(C).(4) 設函數f(x)在x=0處連續,下列命題錯誤的是(A) 若存在,則f(0)=0. (B) 若存在,則f(0)=0. (C) 若存在,則存在. (D) 若存在,則存在[ D ]【分析】 本題為極限的逆問題,已知某極限存在的情況下,需要利用極限的四則運算等進行分析討論?!驹斀狻?(A),(B)兩項中分母的極限為0,因此分子的極限也必須為0,均可推導出f(0)=0.若存在,則,可見(C)也正確,故應選(D). 事實上,可舉反例:在x=0處連續,且=存在,但在x=0處不可導。(5) 設函數f (x)在上具有二階導數,且 令, 則下列結論正確的是(A) 若,則必收斂. (B) 若,則必發散. (C) 若,則必收斂. (D) 若,則必發散.  [ D ]【分析】 可直接證明或利用反例通過排除法進行討論?!驹斀狻?設f(x)=, 則f (x)在上具有二階導數,且,但發散,排除(C)。 設f(x)=, 則f(x)在上具有二階導數,且,但收斂,排除(B)。 又若設,則f(x)在上具有二階導數,且,但發散,排除(A). 故應選(D).(6) 設曲線具有一階連續偏導數),過第II象限內的點M和第IV象限內的點N,T為L上從點M到點N的一段弧,則下列小于零的是(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]【分析】 直接計算出四個積分的值,從而可確定正確選項?!驹斀狻?設M 、N點的坐標分別為. 先將曲線方程代入積分表達式,再計算有:。 。。 .故正確選項為(B).(7) 設向量組線性無關,則下列向量組線性相關的是(A) . (B) . (C) . (D) .[ A ]【詳解】用定義進行判定:令,得 .因線性無關,所以又,故上述齊次線性方程組有非零解, 即線性相關.類似可得(B), (C), (D)中的向量組都是線性無關的.(8) 設矩陣, ,則A與B(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似.[ B ]【詳解】 由 得A的特征值為0, 3, 3, 而B的特征值為0, 1, 1,從而A與B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正慣性指數, 因此A與B合同. 故選(B) .(9) 某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0<p<1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為(A) .    (B) .(C) .   (D) .[ C ]【詳解】“第4次射擊恰好第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標, 前3次射擊中有1次命中目標, 由獨立重復性知所求概率為:. 故選(C) . (10) 設隨機變量(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,分別表示X,Y的概率密度,則在Y=y的條件下,X的條件概率密度為(A) . (B) . (C ) . (D) .[ A ]【詳解】因(X,Y)服從二維正態分布,且X與Y不相關,故X與Y相互獨立,于是 =. 因此選(A) .二、填空題:(11-16小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上)(11) =【分析】先作變量代換,再分部積分?!驹斀狻? (12) 設f(u,v)為二元可微函數,,則=【詳解】 利用復合函數求偏導公式,有= (13) 二階常系數非齊次線性微分方程的通解為 其中為任意常數.【詳解】 特征方程為 ,解得 可見對應齊次線性微分方程的通解為 設非齊次線性微分方程的特解為,代入非齊次方程可得k= ?2. 故通解為(14) 設曲面,則= 【詳解】 由于曲面關于平面x=0對稱,因此=0. 又曲面具有輪換對稱性,于是======(15) 設矩陣, 則的秩為1.【詳解】依矩陣乘法直接計算得 ,故r()=1. (16) 在區間(0, 1)中隨機地取兩個數, 則兩數之差的絕對值小于的概率為.【詳解】這是一個幾何概型, 設x, y為所取的兩個數, 則樣本空間, 記.故 ,其中分別表示A與W 的面積.三、解答題:(17-24小題,共86分. ) (17) (本題滿分11分) 求函數在區域上的最大值和最小值?!痉治觥?由于D為閉區域,在開區域內按無條件極值分析,而在邊界上按條件極值討論即可?!驹斀狻?因為 ,,解方程: 得開區域內的可能極值點為.其對應函數值為又當y=0 時,在上的最大值為4,最小值為0.當,構造拉格朗日函數解方程組 得可能極值點:,其對應函數值為比較函數值,知f(x, y)在區域D上的最大值為8,最小值為0. (18) (本題滿分10分)計算曲面積分其中為曲面的上側?!痉治觥勘绢}曲面不封閉,可考慮先添加一平面域使其封閉,在封閉曲面所圍成的區域內用高斯公式,而在添加的平面域上直接投影即可?!驹斀狻?補充曲面:,取下側. 則 =其中為與所圍成的空間區域,D為平面區域. 由于區域D關于x軸對稱,因此. 又=其中.(19) (本題滿分11分)設函數f(x), g(x)在[a, b]上連續,在(a, b)內具有二階導數且存在相等的最大值,f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明:存在,使得【分析】 需要證明的結論與導數有關,自然聯想到用微分中值定理。事實上,若令,則問題轉化為證明, 只需對用羅爾定理,關鍵是找到的端點函數值相等的區間(特別是兩個一階導數同時為零的點),而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一點,使得,則在區間上兩次利用羅爾定理有一階導函數相等的兩點,再對用羅爾定理即可?!咀C明】 構造輔助函數,由題設有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)內具有相等的最大值, 不妨設存在, 使得,若,令, 則若,因,從而存在,使在區間上分別利用羅爾定理知,存在,使得. 再對在區間上應用羅爾定理,知存在,有, 即 (20) (本題滿分10分)設冪級數在內收斂,其和函數y(x)滿足(I) 證明:(II) 求y(x)的表達式.【分析】 先將和函數求一階、二階導,再代入微分方程,引出系數之間的遞推關系?!驹斀狻?(I)記y(x)=, 則代入微分方程有即 故有 即 (II) 由初始條件知, 于是根據遞推關系式 有 故y(x)= ==(21) (本題滿分11分)設線性方程組①與方程 ②有公共解,求a的值及所有公共解.【分析】 兩個方程有公共解就是①與②聯立起來的非齊次線性方程組有解. 【詳解】將①與②聯立得非齊次線性方程組:③若此非齊次線性方程組有解, 則①與②有公共解, 且③的解即為所求全部公共解. 對③的增廣矩陣作初等行變換得:.于是1° 當a=1時,有=2<3,方程組③有解, 即①與②有公共解, 其全部公共解即為③的通解,此時,此時方程組③為齊次線性方程組,其基礎解系為: ,所以①與②的全部公共解為,k為任意常數.2° 當a =2時,有=3,方程組③有唯一解, 此時,故方程組③的解為: ,即①與②有唯一公共解: 為.(22) (本題滿分11分)設3階對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣.(I) 驗證是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值與特征向量.(II) 求矩陣B.【分析】 根據特征值的性質可立即得B的特征值, 然后由B也是對稱矩陣可求出其另外兩個線性無關的特征向量.【詳解】(I) 由 得 , 進一步 , ,故 ,從而是矩陣B的屬于特征值?2的特征向量.因, 及A的3個特征值 得B的3個特征值為.設為B的屬于的兩個線性無關的特征向量, 又A為對稱矩陣,得B也是對稱矩陣, 因此與正交, 即所以可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關的解:,其基礎解系為: , , 故可取=, =.即B的全部特征值的特征向量為: , , 其中,是不為零的任意常數, 是不同時為零的任意常數.(II)令=, 則,得==.(23) (本題滿分11分) 設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為(I) 求;(II) 求Z=X+Y的概率密度. 【詳解】(I) .(II) 先求Z的分布函數: 當Z<0時, 。當時, ;當時, ;當時, .故Z=X+Y的概率密度為= (24) (數1, 3)(本題滿分11分) 設總體X的概率密度為其中參數(0<<1)未知, 是來自總體X的簡單隨機樣本, 是樣本均值(I) 求參數的矩估計量;(II) 判斷是否為的無偏估計量,并說明理由.【詳解】(I) 令 , 其中 ,解方程得的矩估計量為: =.(II) ,而,故,所以不是的無偏估計量.10 / 10
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