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由傳遞函數轉換成狀態空間模型(1).doc

'由傳遞函數轉換成狀態空間模型(1).doc'
?由傳遞函數轉換成狀態空間模型——方法多!!!SISO線性定常系統高階微分方程化為狀態空間表達式SISO 假設 外部描述←—實現問題:有了內部結構—→模擬系統 內部描述SISO 實現問題解決有多種方法,方法不同時結果不同。一、 直接分解法因為對上式取拉氏反變換,則按下列規律選擇狀態變量,即設,于是有寫成矩陣形式式中,為階單位矩陣,把這種標準型中的A系數陣稱之為友陣。只要系統狀態方程的系數陣A和輸入陣b具有上式的形式,c陣的形式可以任意,則稱之為能控標準型。則輸出方程寫成矩陣形式分析陣的構成與傳遞函數系數的關系。在需要對實際系統進行數學模型轉換時,不必進行計算就可以方便地寫出狀態空間模型的A、b、c矩陣的所有元素。例:已知SISO系統的傳遞函數如下,試求系統的能控標準型狀態空間模型。解:直接得到系統進行能控標準型的轉換,即若選擇狀態變量滿足下列條件(如何考慮?)考慮式設系統的輸出,依次對第一式求導,并帶入第二式;對第二式求導,并帶入第三式;依次類推,便得到寫成矩陣形式式中,為階單位矩陣。只要系統狀態空間表達式的A陣和c陣具有上式的形式,b陣的形式可以任意,則稱之為能觀標準型從形式上看,能控標準型和能觀標準型的系數陣A是互為轉置,能控標準型輸入陣b和能觀標準型輸出陣c互為轉置,這種互為轉置的關系被稱為對偶關系。將在第六章進一步討論。通過以上對傳遞函數陣的能控標準型或能觀標準型轉換的討論,對單輸入系統而言,應注意如下問題:(1)傳遞函數轉化成能控標準型的狀態空間表達式,狀態方程的結構只由傳遞函數陣的極點(特征)多項式確定,而與其零點多項式無關,零點多項式只影響輸出方程的結構。(2)從能觀標準型的轉換可以看出,系數陣A的元素僅決定于傳遞函數極點多項式系數,而其零點多項式則確定輸入陣B的元素。(3)只有當傳遞函數零點和極點多項式同階時,即,狀態空間表達式的輸出方程中才出現項,否則為零陣。例:求前例的能觀標準型的狀態空間模型解:直接得到能觀標準型的狀態空間模型,即二、 串聯分解法若SISO系統的傳遞函數極點互異,系統傳遞函數分子分母寫成因式相乘形式例:圖示??!三、 并聯分解法(對角標準型/約旦標準型——特征值標準型)(一)若SISO系統的傳遞函數極點互異,則可求得對角標準型的模型。 當系統的極點互異時,系統傳遞函數分子分母寫成因式相乘形式寫成部分分式其中,,為待定系數,其值為選擇狀態變量為(畫圖示意狀態變量的取法)即 對上式拉氏反變換,得即 寫成矩陣形式式中,系數矩陣A為對角陣。對角線上的元素是傳遞函數G(s)的極點,即系統的特征值。b陣是元素全為1的n×1矩陣。求對角標準型模型的輸出方程中c的結構對上式拉氏反變換,得如果系統的狀態方程的A陣是對角陣,表示系統的各個變量之間是解耦的。多變量的系統解耦是復雜系統實現精確控制的關鍵問題,關于如何實現解耦控制將在第五章討論。系統的狀態結構圖如圖所示。例: 設系統的閉環傳遞函數如下,試求系統對角標準型的轉換解:將用部分分式展開從而可得的極點為互異的,求待定系數得對角標準型的轉換為(二)對SISO系統式,當其有重特征值時,可以得到約當標準型的狀態空間模型。此時模型的系數矩陣A中與重特征值對應的那些子塊都是與這些特征值相對應的約當塊,即設系統具有一個重特征值,其重數為j,而其余為互異的特征值,記為,則傳遞函數可以用部分分式展開成式中,待定系數對應的是重極點的待定系數,其值為其余互異根的待定系數求法同前。畫圖示意狀態變量的取法:例: 設系統的閉環傳遞函數如下,試求系統對約當準型的狀態空間模型解:從已知系統地傳遞函數可知,該系統為四階,有一個重極點,重數為j=2,有兩個互異的極點,即按部分分式展開求重極點對應的待定系數求互異極點對應的待定系數可得約當標準型的模型為
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狀態 空間 轉換 模型 傳遞 函數
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