2020高考數學(理)模擬卷含答案解析(4).doc

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?2020高考數學(理)模擬卷(4)(本試卷滿分150分,考試用時120分鐘)注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡的相應位置上。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,將試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷(選擇題)一、單選題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,則集合( )A. B. C. D.【答案】D【解析】集合,,則集合,,.故選:.2.復數滿足,則( ?。瓵. B. C.1 D.【答案】B【解析】由題意,復數,得,∴.故選:B.3.某車間為了規定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了5次試驗。根據收集到的數據(如下表),由最小二乘法求得回歸方程為=0.67x+54.9。零件數x/個1020304050加工時間y/min62758189現發現表中有一個數據模糊看不清,則該數據為( )A.68 B.68.3 C.68.5 D.70【答案】A【解析】設表中那個模糊看不清的數據為m。由表中數據得=30,=,所以樣本點的中心為,因為樣本點的中心在回歸直線上,所以=0.67×30+54.9,解得m=68。4.若直線:與:平行,則與間的距離為  A. B. C. D.【答案】B【解析】∵直線:與:平行,∴,∴,∴直線與之間的距離為.故選B.5.在平面直角坐標系中,角的頂點為,始邊與軸正半軸重合,終邊過點,且,則( )A. B. C.或 D. 或【答案】B 【解析】由終邊過點,得,解得(y>0)即終邊過點,故選B。6.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NRF=60°,則|FR|等于(  )A. B.1C.2 D.4【答案】C【解析】因為M,N分別是PQ,PF的中點,所以MN∥FQ,且PQ∥x軸。又∠NRF=60°,所以∠FQP=60°。由拋物線定義知|PQ|=|PF|,所以△FQP為正三角形。則FM⊥PQ,所以|QM|=p=2,正三角形邊長為4。因為|PQ|=4,|FN|=|PF|=2,且△FRN為正三角形,所以|FR|=2。故選C。7.已知,且,則向量在向量方向上的投影為( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】因為,且,所以,所以,因此向量在方向上的投影為.故選A8.如圖,在△中,點是線段上的動點,且 ,則的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖可知x,y均為正,設,共線, ,,則的最小值為,故選D.9.已知函數,將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標保持不變;再把所得圖象向上平移個單位長度,得到函數的圖象,若,則的值可能為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數,將函數的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍,得的圖象;再把所得圖象向上平移個單位,得函數的圖象,易知函數的值域為.若,則且,均為函數的最大值,由,解得;其中、是三角函數最高點的橫坐標,的值為函數的最小正周期的整數倍,且.故選:D.10.梅賽德斯-奔馳(Mercedes-Benz)創立于1900年,是世界上最成功的高檔汽車品牌之一,其經典的“三叉星”商標象征著陸上、水上和空中的機械化.已知該商標由1個圓形和6個全等的三角形組成(如圖),點為圓心,,若在圓內任取一點,則此點取自陰影部分的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知可得,則.又,.不妨設,則由正弦定理可得,則,所以陰影部分的面積為,圓的面積為,則在圓內任取一點,則此點取自陰影部分的概率為.故選:A.11.已知函數滿足,且當時,成立,若,,,則a,b,c的大小關系是(   )A. B. C. D.【答案】C【解析】根據題意,令h(x)=xf(x),h(﹣x)=(﹣x)f(﹣x)=﹣xf(x)=﹣h(x),則h(x)為奇函數;當x∈(﹣∞,0)時,h′(x)=f(x)+xf'(x)<0,則h(x)在(﹣∞,0)上為減函數,又由函數h(x)為奇函數,則h(x)在(0,+∞)上為減函數,所以h(x)在R上為減函數,a=(20.6)?f(20.6)=h(20.6),b=(ln2)?f(ln2)=h(ln2),c=()?f()=h()=h(﹣3),因為0<ln2<1<20.6,則有;故選:C.12.曲線為:到兩定點、距離乘積為常數的動點的軌跡.以下結論正確的個數為( )(1)曲線一定經過原點;(2)曲線關于軸、軸對稱;(3)的面積不大于;(4)曲線在一個面積為的矩形范圍內.A. B. C. D.【答案】C【解析】設點的坐標為,由題意可得.對于命題(1),將原點坐標代入方程得,所以,命題(1)錯誤;對于命題(2),點關于軸、軸的對稱點分別為、,,,則點、都在曲線上,所以,曲線關于軸、軸對稱,命題(2)正確;對于命題(3),設,,,則,由余弦定理得,當且僅當時等號成立,則為銳角,所以,,則的面積為,命題(3)正確;對于命題(4),,可得,得,解得,由(3)知,,得,曲線在一個面積為的矩形內,命題(4)正確.因此,正確的命題序號為(2)(3)(4).故選C.第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。把答案填在題中的橫線上。13.函數的圖象恒過定點, 在冪函數的圖象上,則 。 【答案】3【解析】由題意有:,因此滿足,則所以。故填3.14.已知各項均為正數的等比數列,,,則 _________.【答案】9【解析】由等比中項的性質得出,,,易知,、、成等比數列,則、、成等比數列,.故答案為:.15.某幾何體的三視圖如圖所示,若這個幾何體的頂點都在球O的表面上,則球O的表面積是_______________.【答案】5π【解析】由三視圖知,該幾何體為三棱錐,且其中邊長為1的側棱與底面垂直,底面為底邊長為2的等。省略部分。城市乙只有兩條公路,且通過這兩條公路所用的時間互不影響.據調查統計,通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數分布如下表:所用的時間(天數)10111213通過公路l的頻數20402020通過公路2的頻數10404010假設汽車A只能在約定日期(某月某日)的前11天出發,汽車B只能在約定日期的前12天出發(將頻率視為概率).(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內將貨物運往城市乙,估計汽車A和汽車B應如何選擇各自的路徑;(2)若通過公路l、公路2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元(其他費用忽略不計),此項費用由生產商承擔.如果生產商恰能在約定日期當天將貨物送到,則銷售商一次性支付給生產商40萬元,若在約定日期前送到;每提前一天銷售商將多支付給生產商2萬元;若在約定日期后送到,每遲到一天,生產商將支付給銷售商2萬元.如果汽車A,B按(1)中所選路徑運輸貨物,試比較哪輛汽車為生產商獲得的毛利潤更大.【解析】(1)頻率分布表如下:所有的時間(天數)10111213通過公路1的頻率0.20.40.20.2通過公路2的頻率0.10.40.40.1設分別表示汽車在約定日期前11天出發選擇公路1,2將貨物運往城市乙;分別表示汽車在約定日期前12天出發選擇公路1,2將貨物運往城市乙;;;;;所以汽車選擇公路1,汽車選擇公路2。(2)設表示汽車選擇公路1時,銷售商付給生產商的費用,則的所有可能取值有42,40,38,36,則的分布列如下:424038360.20.40.20.2.∴汽車選擇公路1的毛利潤是(萬元).設表示汽車選擇公路2時,銷售商付給生產商的費用,則的所有可能取值有42,40,38,36,則的分布列如下:444240380.10.40.40.1,∴汽車選擇公路2的毛利潤是(萬元),∵,汽車為生產商獲得的毛利更大.19.(12分)如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,FA=FC,且∠DAB=∠DBF=60°。(I)求證:AC⊥平面BDEF;(II)若G為線段DE 上一點且滿足,求直線AG與平面ABF所成角的余弦值?!窘馕觥俊?I)證明:設AC與BD相交于點O,連接FO,因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD,且O為AC中點,因為FA=FC,所以AC⊥FO,又FO∩BD=O,所以AC⊥平面BDEF。(II)連接DF,因為四邊形BDEF為菱形,且∠DBF=60°,所以△DBF為等邊三角形,因為O為BD中點,所以FO⊥BD,又AC⊥FO,AC∩BD=O,所以FO⊥平面ABCD。因為OA,OB,OF兩兩垂直,所以可建立空間直角坐標系O-xyz,如圖所示,設AB=2,因為四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,所以BD=2,AC=2。因為△DBF為等邊三角形,所以OF=。所以A(,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),F(0,0,)由得由得所以=(-,-1,0),=(-,0,),=(-,1,0)。設平面ABF的法向量為n=(x,y,z),則取x=1,得n=(1,,1)。設直線AG與平面ABF所成角為θ,則 ∴.20.(12分)已知橢圓:過點,左、右焦點分別是,,過的直線與橢圓交于,兩點,且的周長為.(1)求橢圓的方程;(2)若點滿足,求四邊形面積的最大值.【詳解】(1)因為的周長為,所以,因為橢圓:過點,所以,聯立方程,解得,,所以橢圓的方程為;(2)由(1)可知,的坐標為,由題意可知,顯然直線的斜率不為0,設直線的方程為,,,聯立,得,所以,,且恒成立,因為點滿足,所以四邊形為平行四邊形,設其面積為,則,因為,所以,,,令,則,當且僅當,即時,有最大值4,所以四邊形面積的最大值為4。21.(12分)已知函數f(x)=xex(x∈R)。(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值; (II)已知函數h(x)與函數f(x)的圖象關于原點對稱,如果x1≠x2,且h(x1)=h(x2),證明:x1+x2>2?!窘馕觥?I)由已知得f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令f′(x)=0,解得x=-1,當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,+∞)f′(x)-0+f(x)單調遞減-單調遞增所以函數f(x)的單調遞增區間為(-1,+∞),單調遞減區間為(-∞,-1),函數f(x)在x=-1處取得極小值,為f(-1)=-,無極大值。(II)由題意知,h(x)=-f(-x)=xe-x,h′(x)=e-x(1-x),令h′(x)=0,解得x=1。當x變化時,h′(x),h(x)的變化情況如下表:x(-∞,1)1(1,+∞)h′(x)+0-h(x)單調遞增單調遞減由x1≠x2,不妨設x1>x2,根據h(x1)=h(x2),結合圖象可知x1>1,x21,2x-2>0,所以e2x-2-1>0,則F′(x)>0,所以F(x)在(1,+∞)上單調遞增,所以當x>1時,F(x)>0,即當x>1時,h(x)>h(2-x),則h(x1)>h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),因為x1>1,所以2-x12-x1,即x1+x2>2。(二)選考題:共10分.請考生在22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數方程在平面直角坐標系中,已知是曲線: (為參數)上的動點,將繞點順時針旋轉得到,設點的軌跡為曲線.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(Ⅰ)求曲線,的極坐標方程;(Ⅱ)在極坐標系中,射線與曲線,分別相交于異于極點的兩點,點,求的面積.【解析】(Ⅰ)由題知點的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,所以曲線的方程為.,,,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.(Ⅱ)在極坐標系中,設點的極徑分別為,又點到射線的距離為的面積23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)若,求證:【解析】(Ⅰ)原不等是化為,即①時,不等式化為,解得;②時,不等式化為,解得,;③時,不等式化為,解得,.綜上可得:原不等式解集為.(Ⅱ),當且僅當且時取等號.又,,當且僅當時取等號.
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模擬 高考 數學 2020 答案 解析
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