兩角和與差的正弦、余弦和正切.ppt

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§4.5 兩角和與差的正弦、余弦和正切要點梳理1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(Cα-β) cos(α+β)= (Cα+β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(Sα-β) sin(α+β)= (Sα+β)cos αcos β-sin αsin βsin αcos β+cos αsin β基礎知識 自主學習前面4個公式對任意的α,β都成立,而后面兩個公式成立的條件是 (Tα+β需滿足), (Tα-β需滿足) k∈Z時成立,否則是不成立的.當tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在時,不能使用公式Tα±β,處理有關問題,應改用誘導公式或其它方法來解.2.要辯證地看待和角與差角,根據需要,可以進 行適當的變換:α=(α+β)-β,α=(α-β) +β,2α=(α+β)+(α-β), 2α=(α+β)-(β-α)等等.3.二倍角公式 sin 2α= ; cos 2α= = = ; tan 2α= .2sin αcos αcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α4.在準確熟練地記住公式的基礎上,要靈活運用 公式解決問題:如公式的正用、逆用和變形用 等.如Tα±β可變形為: tan α±tan β= , tan αtan β=5.函數f(α)=acos α+bsin α(a,b為常數),可以 化為f(α)= 或f(α)= ,其中φ可由a,b的值唯一 確定.tan(α±β)(1tan αtan β)=.基礎自測1.cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值為 ( ) A. B. C. D. 解析 原式=cos 43°cos(90°-13°) +sin 43°cos(180°-13°) =cos 43°sin 13°-sin 43°cos 13° =sin(13°-43°)=-sin 30°=B2. ( ) 解析 由已知可得C3.(2009·陜西理,5)若3sin α+cos α=0, 則 的值為( ) A. B. C. D.-2 解析 3sin α+cos α=0,則A4.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,則tan 2α 等于( ) A. B. C. D. 解析 tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]D5.(2009·上海理,6)函數y=2cos2x+sin 2x的最 小值是 . 解析 ∵y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x ∴y最小值=1- .題型一 三角函數式的化簡、求值 (1)從把角θ變為 入手,合理使用 公式. (2)應用公式把非10°角轉化為10°的角,切 化弦.題型分類 深度剖析解 (1)原式 (1)三角函數式的化簡要遵循“三看”原則,一看角,二看名,三看式子結構與特征.(2)對于給角求值問題,往往所給角都是非特殊角,解決這類問題的基本思路有:①化為特殊角的三角函數值;②化為正、負相消的項,消去求值;③化分子、分母出現公約數進行約分求值.知能遷移1 解題型二 三角函數的給值求值 角的變換:所求角分拆成已知角的 和、差、倍角等,綜合上述公式及平方關系. 解 角的變換:轉化為同角、特殊角、已知角或它們的和、差、兩倍、一半等;如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β)等;函數變換:弦切互化,化異名為同名.綜合運用和、差、倍角與平方關系時注意角的范圍對函數值的影響.當出現互余、互補關系,利用誘導公式轉化.知能遷移2 已知( )解析答案 A題型三 三角函數的給值求角 已知tan(α-β)= ,tan β= , 且α,β∈(0,π),求2α-β的值. 對角2α-β拆分為α+(α-β);α拆 分為(α-β)+β,先求tan α,再求tan(2α-β). 解∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).∵tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] (1)通過求角的某種三角函數值來求角,在選取函數時,遵照以下原則:①已知正切函數值,選正切函數;②已知正、余弦函數值,選正弦或余弦函數;若角的范圍是 ,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為 ,選正弦較好.(2)解這類問題的一般步驟為:①求角的某一個三角函數值;②確定角的范圍;③根據角的范圍寫出所求的角. 知能遷移3 已知 (1)求sin α的值; (2)求β的值. 解題型四 三角函數的綜合應用 (12分)已知α、β為銳角,向量a= (cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c (1)若a·b= ,a·c= ,求角2β-α的值; (2)若a=b+c,求tan α的值. (1)由 及a,b, c的坐標,可求出關于α、β的三角函數值,進 而求出角. (2)由a=b+c可求出關于α、β的三角恒等式, 利用方程的思想解決問題.解 (1)a·b=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β①②[2分] [4分]解題示范[6分][8分][10分] (1)已知三角函數值求角,一定要注意角的范圍.(2)求有關角的三角函數問題,有時構造等式,用方程的思想解決更簡單、實用.[12分]知能遷移4(2009·廣東理,16)已知向量a= (sin θ,-2)與b=(1,cos θ)互相垂直,其中 (1)求sin θ 和cos θ的值;解方法與技巧1.巧用公式變形: 和差角公式變形:tan x±tan y=tan(x±y)· (1tan x·tan y); 倍角公式變形:降冪公式 配方變形:思想方法 感悟提高2.利用輔助角公式求最值、單調區間、周期. y=asin α+bcos α= (α+φ)(其 中tan φ= )有:3.重視三角函數的“三變”:“三變”是指“變 角、變名、變式”;變角為:對角的分拆要盡 可能化成同名、同角、特殊角;變名:盡可能 減少函數名稱;變式:對式子變形一般要盡可 能有理化、整式化、降低次數等.在解決求值、 化簡、證明問題時,一般是觀察角度、函數名、 所求(或所證明)問題的整體形式中的差異, 再選擇適當的三角公式恒等變形.4.已知和角函數值,求單角或和角的三角函數值 的技巧:把已知條件的和角進行加減或2倍角后 再加減,觀察是不是常數角,只要是常數角, 就可以從此入手,給這個等式兩邊求某一函 數值,可使所求的復雜問題簡單化!5.熟悉三角公式的整體結構,靈活變換.本節要重 視公式的推導,既要熟悉三角公式的代數結構, 更要掌握公式中角和函數名稱的特征,要體會 公式間的聯系,掌握常見的公式變形,倍角公 式應用是重點,涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其變形.失誤與防范1.運用公式時要注意審查公式成立的條件,要注 意和、差、倍角的相對性,要注意升次、降次 的靈活運用,要注意“1”的各種變通.2.在(0,π)范圍內,sin(α+β)= 所對應的 角α+β不是唯一的.3.在三角求值時,往往要估計角的范圍后求值.一、選擇題1.sin 45°·cos 15°+cos 225°·sin 15°的值 為 ( ) A. B. C. D. 解析 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45° ·sin 15°C定時檢測2.( )解析B3. ( )解析A4.已知向量( )解析B5. ( )解析A6.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B= ,則 tan Atan B的值為 ( ) A. B. C. D. 解析 tan(A+B)=-tan C=-tan 120°= ,B二、填空題7. . 解析 8. . 解析29. 已知 .解析三、解答題10.化簡: 解11.已知函數 (1)求f(x)的周期和單調遞增區間; (2)若關于x的方程f(x)-m=2在 上有解, 求實數m的取值范圍. 解12.已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α, 5sin α-4cos α), (1)求tan α的值; 解 (1)∵a⊥b,∴a·b=0. 而a=(3sin α,cos α), b=(2sin α,5sin α-4cos α), 故a·b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0. 由于cos α≠0,∴6tan2α+5tan α-4=0.且a⊥b. 返回
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