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數學分析 不定積分.doc

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?《數學分析》教案第八5章 不定積分 教學要求: 1.積分法是微分法的逆運算。要求學生:深刻理解不定積分的概念,掌握原函數與不定積分的概念及其之間的區別;掌握不定積分的線性運算法則,熟練掌握不定積分的基本積分公式。2.換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學生:牢記換元積分公式和選取替換函數(或湊微分)的原則,并能恰當地選取替換函數(或湊微分),熟練地應用換元積分公式;牢記分部積分公式,知道求哪些函數的不定積分運用分部積分公式,并能恰當地將被積表達式分成兩部分的乘積,熟練地應用分部積分公式;獨立地完成一定數量的不定積分練習題,從而逐步達到快而準的求出不定積分。3.有理函數的不定積分是求無理函數和三角函數有理式不定積分的基礎。要求學生:掌握化有理函數為分項分式的方法;會求四種有理最簡真分式的不定積分,知道有理函數的不定積分(原函數)還是初等函數;學會求某些有理函數的不定積分的技巧;掌握求某些簡單無理函數和三角函數有理式不定積分的方法,從理論上認識到這些函數的不定積分都能用初等函數表示出來。教學重點:深刻理解不定積分的概念;熟練地應用換元積分公式;熟練地應用分部積分公式;教學時數:18學時 § 1 不定積分概念與基本公式( 4學時 )  教學要求: 積分法是微分法的逆運算。要求學生:深刻理解不定積分的概念,掌握原函數與不定積分的概念及其之間的區別;掌握不定積分的線性運算法則,熟練掌握不定積分的基本積分公式。教學重點:深刻理解不定積分的概念。一、新課引入: 微分問題的反問題,運算的反運算.二、講授新課: (一)不定積分的定義: 1.原函數: 例1 填空: ; ( ; ; ; ;. 定義. 注意 是 的一個原函數. 原函數問題的基本內容:存在性,個數,求法.原函數的個數: Th 若 是 在區間 上的一個原函數, 則對 , 都是 在區間 上的原函數;若 也是 在區間 上的原函數,則必有 . ( 證 )可見,若 有原函數 ,則 的全體原函數所成集合為 { │ R}.原函數的存在性: 連續函數必有原函數. ( 下章給出證明 ).可見, 初等函數在其定義域內有原函數; 若 在區間 上有原函數, 則 在區間 上有介值性.例2. 已知 為 的一個原函數, =5 . 求 .  2.不定積分—— 原函數族:定義; 不定積分的記法;幾何意義.例3 ; .   (二)不定積分的基本性質: 以下設 和 有原函數. ⑴ .(先積分后求導, 形式不變應記牢!).⑵ . (先求導后積分, 多個常數需當心!)⑶ 時, (被積函數乘系數,積分運算往外挪?。?⑷ 由⑶、⑷可見, 不定積分是線性運算, 即對 , 有 ( 當 時,上式右端應理解為任意常數. )例4 . 求 . ( =2 ).  (三). 不定積分基本公式: 基本積分表. [1]P180— 公式1—14. 例5 . (四).利用初等化簡計算不定積分:  例6 . 求 .例7 .例8 .例9 .例10 ⑴ ; ⑵ 例11 .例12 .三、小結 §2 換元積分法與分部積分法 (1 0 學時 ) 教學要求: 換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學生:牢記換元積分公式和選取替換函數(或湊微分)的原則,并能恰當地選取替換函數(或湊微分),熟練地應用換元積分公式;牢記分部積分公式,知道求哪些函數的不定積分運用分部積分公式,并能恰當地將被積表達式分成兩部分的乘積,熟練地應用分部積分公式;獨立地完成一定數量的不定積分練習題,從而逐步達到快而準的求出不定積分。教學重點:熟練地應用換元積分公式;熟練地應用分部積分公式;一、新課引入:由直接積分的局限性引入 二、講授新課: (一). 第一類換元法 ——湊微分法: 由 引出湊微公式.Th1 若 連續可導, 則 該定理即為:若函數 能分解為就有 . 例1 . 例2 . 例3 常見微分湊法: 湊法1 例4 例5 例6 例7 由例4—7可見,??捎贸醯然啺驯环e函數化為型,然后用湊法1.例8 ⑴ . ⑵ .   湊法2 . 特別地, 有 . 和 . 例9 . 例10 例11 . 例12 = .湊法3 例13 ⑴ ⑵ 例14 例15 . 例16 湊法4 . 例17  湊法5 例18  湊法6 . 例19  .其他湊法舉例: 例20  .例21  例22  .例23 . 例24 . 例25 例26 .三、小結 (二)第二類換元法 —— 拆微法: 從積分 出發,從兩個方向用湊微法計算,即 = = = 引出拆微原理.Th2 設 是單調的可微函數,并且 又 具有原函數. 則有換元公式(證)  常用代換有所謂無理代換, 三角代換, 雙曲代換, 倒代換, 萬能代換, Euler代換等.我們著重介紹三角代換和無理代換.1. 三角代換: ⑴ 正弦代換: 正弦代換簡稱為“弦換”. 是針對型如 的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 令 , 則例27  解法一 直接積分; 解法二 用弦換.例28  .  例29  .⑵ 正切代換: 正切代換簡稱為“切換”. 是針對型如 的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 利用三角公式 即 令 . 此時有 變量還原時, 常用所謂輔助三角形法.例30  . 解 令 有 . 利用例22的結果, 并用輔助三角形, 有 = = 例31   ⑶正割代換: 正割代換簡稱為“割換”. 是針對型如 的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 利用三角公式 令 有變量還愿時, 常用輔助三角形法. 例32 解 .例33  .解法一 ( 用割換 )解法二 ( 湊微 )    2. 無理代換:若被積函數是 的有理式時, 設 為 的最小公倍數,作代換 , 有 .可化被積函數為 的有理函數.例34 .例35 .若被積函數中只有一種根式 或 可試作代換 或. 從中解出 來.例36 . 例37 例38 (給出兩種解法)例39 .  本題還可用割換計算, 但較繁.  3.  雙曲代換: 利用雙曲函數恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化簡時常用到雙曲函數的一些恒等式, 如:例40  .本題可用切換計算,但歸結為積分 , 該積分計算較繁. 參閱后面習題課例3.例41   解 .例42  . 解 4. 倒代換: 當分母次數高于分子次數, 且分子分母均為“因式”時, 可試用倒代換 例43  .5.  萬能代換: 萬能代換常用于三角函數有理式的積分(參[1]P261). 令 , 就有 , ,例44  .解法一 ( 用萬能代換 ) .解法二 ( 用初等化簡 ) .解法三 ( 用初等化簡, 并湊微 )例45 解 = .代換法是一種很靈活的方法.三、小結 (三). 分部積分法:導出分部積分公式.介紹使用分部積分公式的一般原則.  1. 冪 X 型函數的積分: 分部積分追求的目標之一是: 對被積函數兩因子之一爭取求導, 以使該因子有較大簡化, 特別是能降冪或變成代數函數. 代價是另一因子用其原函數代替( 一般會變繁 ), 但總體上應使積分簡化或能直接積出. 對“冪 ” 型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或對“ ”求導以使其成為代數函數.例46 (冪對搭配,取對為u) 例47 (冪三搭配,取冪為u) 例48 (冪指搭配,取冪為u) 例49 (冪指搭配,取冪為u) 例50 例51 (冪反搭配,取反為u) 例52   2   建立所求積分的方程求積分: 分部積分追求的另一個目標是: 對被積函數兩因子之一求導, 進行分部積分若干次后, 使原積分重新出現, 且積分前的符號不為 1. 于是得到關于原積分的一個方程. 從該方程中解出原積分來. 例53 例54 求 和   解 解得   例55 解 = = (參閱例41)解得 例56 = ,解得 .例57 = = ,解得 .三、小結 § 3 有理函數和可化為有理函數的積分( 2學時 ) 教學要求:有理函數的不定積分是求無理函數和三角函數有理式不定積分的基礎。要求學生:掌握化有理函數為分項分式的方法;會求四種有理最簡真分式的不定積分,知道有理函數的不定積分(原函數)還是初等函數;學會求某些有理函數的不定積分的技巧;掌握求某些簡單無理函數和三角函數有理式不定積分的方法,從理論上認識到這些函數的不定積分都能用初等函數表示出來。教學重點:使學生掌握化有理函數為分項分式的方法;求四種有理最簡真分式的不定積分,學會求某些有理函數的不定積分的技巧;求某些簡單無理函數和三角函數有理式不定積分的方法,從理論上認識到這些函數的不定積分都能用初等函數表示出來。一、新課引入:由積分應用的廣泛性引入 二、講授新課: (一)有理函數的積分:   1. 代數知識: [1]P190例1 [1]P190,  2. 部分分式的積分: [1]P192  例2 [1]P192  例3 [2]P260 E3.  (二). 三角函數有理式的積分: [1]P194 萬能代換.  例4—5 [1]P195—— (三)某些無理函數的積分: [1]P195——198  (四)一些不能用初等函數有限表達的積分:  等. 習 題 課 ( 2學時 ) 一. 積分舉例 : 例1 .  例2 .  例3 例4 已知 求 例5 求 例6 設 且具有連續導函數. 計算積分 例7 , 求積分 二.   含有二次三項式的積分:例8 ==.例9 = = . - 19 -
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