數學分析課后習題答案(華東師范大學版).doc

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?P.182 習題1.驗證下列等式(1) (2)證明 (1)因為是的一個原函數,所以.(2)因為, 所以.2.求一曲線, 使得在曲線上每一點處的切線斜率為, 且通過點.解 由導數的幾何意義, 知, 所以. 于是知曲線為, 再由條件“曲線通過點”知,當時,, 所以有 , 解得, 從而所求曲線為3.驗證是在上的一個原函數.證明 當時, , ; 當時, , ; 當時, 的導數為, 所以4.據理說明為什么每一個含有第一類間斷點的函數都沒有原函數?解 由P.122推論3的證明過程可知:在區間I上的導函數,它在I上的每一點,要么是連續點,要么是第二類間斷點,也就是說導函數不可能出現第一類間斷點。因此每一個含有第一類間斷點的函數都沒有原函數。5.求下列不定積分⑴⑵⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ ⒃ P.188 習題1.應用換元積分法求下列不定積分:⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ 解法一: 解法二: ⑿解法一:利用上一題的結果,有解法二: 解法三:⒀ 解法一:解法二:解法三:解法四:⒁ ⒂ ⒃ ⒄ ⒅ ⒆ ⒇ (21) (22) 解法一:解法二:解法三:(23) (24) (25) (26) 解 令, 則(27) 解法2 令, 則(28) 解 令, 則(29) 解 令, 則, 其中(30) 解 令, 則, ,2.應用分部積分法求下列不定積分:⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ 所以 ⑽ 所以 類似地可得3.求下列不定積分:⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 4.證明:⑴ 若,,則證 .因為,所以.從而.⑵ 若,則當時,,證 所以,同理可得P.199 習題1.求下列不定積分:⑴ ⑵ 解法一:解法二:⑶ 解 去分母得 令,得. 再令,得,于是. 比較上式兩端二次冪的系數得 ,從而,因此⑷ 解 ⑸解 令, 解得, , , 于是⑹ 其中 參見教材P.186 例9或P.193關于的遞推公式⑺.于是,有2.求下列不定積分⑴ 解 令,則⑵ ⑶ 另解:設,,則,所以⑷ 其中(利用教材P.185例7的結果)所以有⑸ ⑹ 解 令 ,則,,代入原式得總 練 習 題求下列不定積分:⑴ ⑵ 其中所以⑶ 解 令,則⑷ ⑸ ⑹ 解法二:令,⑺ ⑻ ⑼⑽ ⑾ 解 令去分母得:解得:,,所以⑿ 解 令,⒀ 另解:⒁ 解 令⒂ ⒃ ⒄ ⒅ ⒆ ⒇ ,,解 所以169
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