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金融工程講義第三講投資組合(portfolio)理論基礎.doc

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?第三講 投資組合(portfolio)理論基礎一.單個資產的收益和風險1.期望收益(expected return)數學期望(mathematical expectation)的定義:若離散型隨機變量的可能值為,其概率分布為,則當:時,稱的數學期望存在,并且其數學期望記作,定義為:對于風險資產而言,其未來的收益是一個隨機變量。在不同的經濟條件下,這個隨機變量將取不同的值,而每一種經濟條件的出現都有其概率。把資產收益的不同取值乘以不同經濟條件出現的概率,就能夠對該資產未來的收益做出估計。用公式表示為:式中,為該資產收益的第狀態的取值;為資產收益取值的概率;為該資產的期望收益。例題:已知某種證券在市場狀況較好的情況下的投資收益率為45%,在市場狀況較差的情況下的投資收益率為-15%,又已知未來市場狀況轉好的可能性為60%,市場狀況轉壞的可能性為40%,則該證券的期望收益為多少?練習題:假設某種證券資產在A情況下的收益率為35%,在B情況下的投資收益率為15%,在C情況下的投資收益率為-20%。A、B、C三種情況發生的概率分別為20%,50%和30%,求這種證券資產的預期收益。2.收益的方差(Variance)方差(variance)和標準差(standard deviation)的定義:設為一個隨機變量(random variable),其數學期望存在,則稱為的離差(deviation),進一步,如果也存在,則稱為隨機變量的方差,記作或,并稱為的標準差。在數學上,方差反映的是一個隨機變量對于其數學期望的偏離程度。同時,由于我們把投資的風險定義為投資收益偏離預期收益的潛在可能性,因此我們可以用預期收益的方差來作為衡量風險的標準。注:方差是數據組中各數據值與其算術平均數(arithmetic mean)離差平方的算術平均數,用符號“”(的讀音為sigma)來表示。方差的平方根就是標準差,用符號“”來表示。在Excel中可以用VAR函數計算一組數據的方差。用公式表示為:即:方差或者標準差的數值越大就表示投資收益偏離預期收益的幅度越大,也就意味著投資的風險越大。例題:已知某種證券在市場狀況較好的情況下的投資收益率為45%,在市場情況較差的情況下的投資收益率為-15%,又已知未來市場狀況轉好的可能性為60%,市場狀況轉壞的可能性為40%,則該證券期望收益的方差和標準差為多少?注:在Excel中可以用SUMSQ函數作平方(和)運算,也可以用POWER(冪)函數作平方運算,用SQRT函數作求平方根運算。題解:練習題:假設某種證券資產在A情況下的收益率為35%,在B情況下的投資收益率為15%,在C情況下的投資收益率為-20%。A、B、C三種情況發生的概率分別為20%,50%和30%,求這種證券資產預期收益的方差和標準差。二.投資組合的風險與收益1.投資組合的構成資產組合就是由幾種資產構成的組合。投資者可以按照各種比率(或者稱為比重或權重)將其財富分散投資于各種資產上,假設投資者選擇投在種資產上的比重為、、…、,則有如下限制條件:s. t. ,其中:=投資組合所包括的資產種類的數量=某種特定的資產=分配給第種資產的比重例題:2005年9月12日至9月16日的一個交易周內,按成交量排名的前20位股票如下表所列。假設A投資組合是在自9月12日開盤至9月16日收盤的這段投資期間內由這20種股票的每種股票各100股所構成的一個投資組合,則問每一股股票在A投資組合中所占的權重為多少?演示用Excel計算每種股票的權重(weight)。2.投資組合的收益投資組合的收益率取決于兩個因素:各種資產的類別;各種資產的投資比率。投資組合的期望收益率記作,其大小等于投資組合中各種資產的平均收益率與各自的投資比重的乘積之和,即:其中:=投資組合所包括的資產種類的數量=第種資產的期望收益率=分配給第種資產的比重例題:求上一個例題中的A投資組合的收益為多少?演示用Excel計算投資組合的收益。3.投資組合的風險按照方差的定義,投資組合的方差可以按照下面的方法算出。即:例題:求上一個例題中的A投資組合的方差和標準差為多少?演示用Excel計算投資組合的方差和標準差。三.資產的相關關系和投資組合的風險規避1.資產的相關關系(dependency relationship)⑴隨機向量的協方差(covariance)協方差的定義:設為二維隨機向量,,均存在,如果存在,則稱其為隨機變量與的協方差,記作,即:注:在Excel中可以用COVAR函數計算兩組數據的協方差。⑵相關系數(coefficient of correlation)相關系數的定義為:設是一個二維隨機向量,和的方差均存在,且均為正,則稱為與之間的相關系數。注:“”的讀音為“rho”。⑶用協方差形式表示的投資組合的風險如果將資產和資產之間的協方差記為,則投資組合的方差也可以表示為:進一步的投資組合的方差的公式也可以寫成:例題:假如我們要構造一個能源投資的Ace組合,我們選擇了雪佛龍德士古(Chevron Texaco)石油公司和巴羅德(Ballard)燃料電池公司。由于燃料公司提供了替代汽油的清潔能源,所以這兩家公司的股票價格運動方向相反。我們設,雪佛龍德士古公司股票的標準差和預期回報分別是:,。巴羅德公司股票的標準差和預期回報分別是:,。求解Ace組合的標準差和預期回報。注:“Ace”一詞的英文解釋是:“An expert in a given field”。題解:⑷用矩陣的形式表示的投資組合的風險:設有種證券其收益為 ,為隨機變量,以向量的形式可表示為:其數學期望和方差(協方差矩陣)分別為:設投資組合投資于第種證券的比例為 ,用向量表示就是:根據前面的假設,由于約束條件為,因此上式也可以寫成下述向量的形式:某一投資組合的期望收益就是該組合中所有證券期望收益的加權平均。其數學表達式為:投資組合的方差為:注: “”的讀音為“mu”,“”的讀音為“omega”。2.分散投資、資產相關性和風險的規避我們已知投資組合的方差可以表示為:當投資者對每種資產進行等額投資時,也就是,將其帶入上式,則有:………(1)如果將協方差的平均值記為:那么,可以把(1)式進一步簡化為:……………(2)當資產組合充分多元化時,也就是時,對(2)式求極限可得(當然假設各證券收益的方差有界);………………(3) 當資本市場上的資產不是處于完全不相關狀態時(這也是資本市場上的一般情況),不全成立,因而不一定成立。由此我們可以得出重要的結論:當投資組合中包含有很多風險資產時,對于整個組合的風險而言,個別資產的風險()將不再起作用,而各資產之間的協方差雖然存在著正負相抵的可能,但并不能完全消除。 進一步,如果資產組合中的資產兩兩不相關,此時,投資組合的風險通過分散化投資可以完全消除。但是這種情況在現實生活中不可能出現,因為資本市場上的資產價格不可避免地會受到某個共同因素的影響,不可能表現為完全不相關的情況。 現在我們來考慮資本市場上的一般情況,即資產不是處于完全不相關時的情況。由(3)式我們知道充分的分散化能夠消除資產組合的部分風險,但不能消除組合的全部風險??梢韵哪遣糠诛L險稱為非系統性風險(unsystematic risk),也就是(2)中的第一項;不能夠完全消除的那部分風險稱為系統性風險(systematic risk),也就是(2)式中的第二項。 非系統性風險是某一資產所特有的風險,它是影響特定資產收益的風險因素。例如,對于某一發行證券的企業而言,該企業新產品開發的失敗或者應收賬款產生呆賬等都是只對該企業所發行證券有影響的非系統性風險。而系統風險則對市場上所有的資產都產生影響,如銀行利率的下降或者通貨膨脹率的上升都不可避免地會影響到整個市場。 試想一下,若有一名投資者構建了一個包括市場上所有資產的投資組合,而且存在一個包括市場上所有資產的市場指數,那么投資者所要做的僅僅是讓每種資產的投資比例等于計算市場指數時該資產的權重,就可以完全消除個別資產的非系統性風險。這名投資者所要承擔的風險僅僅是指數的波動,也就是系統性風險。
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第三 投資 講義 組合 工程 portfolio 金融 理論基礎
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