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通信原理(曹麗娜 福大課程使用版本)第3章.ppt

'通信原理(曹麗娜 福大課程使用版本)第3章.ppt'
*通信原理第3章 隨機過程*第3章 隨機過程3.1 隨機過程的基本概念什么是隨機過程?隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程,它不能用確切的時間函數描述??蓮膬煞N不同角度看:角度1:對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。 *第3章 隨機過程【例】n臺示波器同時觀測并記錄這n臺接收機的輸出噪聲波形 樣本函數?i (t):隨機過程的一次實現,是確定的時間函數。隨機過程:? (t) ={?1 (t), ?2 (t), …, ?n (t)} 是全部樣本函數的集合。*第3章 隨機過程角度2:隨機過程是隨機變量概念的延伸。在任一給定時刻t1上,每一個樣本函數?i (t)都是一個確定的數值?i (t1),但是每個?i (t1)都是不可預知的。在一個固定時刻t1上,不同樣本的取值{?i (t1), i = 1, 2, …, n}是一個隨機變量,記為? (t1)。換句話說,隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。因此,我們又可以把隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。這個角度更適合對隨機過程理論進行精確的數學描述。*第3章 隨機過程3.1.1隨機過程的分布函數設? (t)表示一個隨機過程,則它在任意時刻t1的值? (t1)是一個隨機變量,其統計特性可以用分布函數或概率密度函數來描述。隨機過程? (t)的一維分布函數:隨機過程? (t)的一維概率密度函數: 若上式中的偏導存在的話。 *第3章 隨機過程隨機過程? (t) 的二維分布函數:隨機過程? (t)的二維概率密度函數: 若上式中的偏導存在的話。 隨機過程? (t) 的n維分布函數:隨機過程? (t) 的n維概率密度函數:*第3章 隨機過程3.1.2 隨機過程的數字特征均值(數學期望): 在任意給定時刻t1的取值? (t1)是一個隨機變量,其均值 式中 f1 (x1, t1) - ? (t1)的概率密度函數 由于t1是任取的,所以可以把 t1 直接寫為t, x1改為x,這樣上式就變為*第3章 隨機過程 ? (t)的均值是時間的確定函數,常記作a ( t ),它表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心 :a (t )*第3章 隨機過程方差 方差常記為? 2( t )。這里也把任意時刻t1直接寫成了t 。 因為 所以,方差等于均方值與均值平方之差,它表示隨機過程在時刻 t 對于均值a ( t )的偏離程度。均方值均值平方*第3章 隨機過程相關函數 式中, ? (t1)和? (t2)分別是在t1和t2時刻觀測得到的隨機變量??梢钥闯?,R(t1, t2)是兩個變量t1和t2的確定函數。協方差函數 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) - 在t1和t2時刻得到的? (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) - ? (t)的二維概率密度函數。 *第3章 隨機過程相關函數和協方差函數之間的關系 若a(t1) = a(t2)=0,則B(t1, t2) = R(t1, t2)互相關函數 式中?(t)和?(t)分別表示兩個隨機過程。 因此,R(t1, t2)又稱為自相關函數。 *第3章 隨機過程3.2 平穩隨機過程3.2.1 平穩隨機過程的定義定義: 若一個隨機過程?(t)的任意有限維分布函數與時間起點無關,也就是說,對于任意的正整數n和所有實數?,有 則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩隨機過程,簡稱嚴平穩隨機過程。 *第3章 隨機過程性質: 該定義表明,平穩隨機過程的統計特性不隨時間的推移而改變,即它的一維分布函數與時間t無關: 而二維分布函數只與時間間隔? = t2 – t1有關:數字特征: 可見,(1)其均值與t無關,為常數a; (2)自相關函數只與時間間隔?有關。*第3章 隨機過程數字特征: 可見,(1)其均值與t 無關,為常數a ; (2)自相關函數只與時間間隔? 有關。 把同時滿足(1)和(2)的過程定義為廣義平穩隨機過程。顯然,嚴平穩隨機過程必定是廣義平穩的,反之不一定成立。 在通信系統中所遇到的信號及噪聲,大多數可視為平穩的隨機過程。因此,研究平穩隨機過程有著很大的實際意義。 *第3章 隨機過程3.2.2 各態歷經性問題的提出:我們知道,隨機過程的數字特征(均值、相關函數)是對隨機過程的所有樣本函數的統計平均,但在實際中常常很難測得大量的樣本,這樣,我們自然會提出這樣一個問題:能否從一次試驗而得到的一個樣本函數x(t)來決定平穩過程的數字特征呢?回答是肯定的。平穩過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性,稱為“各態歷經性”(又稱“遍歷性”)。具有各態歷經性的過程,其數字特征(均為統計平均)完全可由隨機過程中的任一實現的時間平均值來代替。 下面,我們來討論各態歷經性的條件。*第3章 隨機過程各態歷經性條件 設:x(t)是平穩過程?(t)的任意一次實現(樣本), 則其時間均值和時間相關函數分別定義為: 如果平穩過程使下式成立 則稱該平穩過程具有各態歷經性。*第3章 隨機過程“各態歷經”的含義是:隨機過程中的任一次實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態。因此,在求解各種統計平均(均值或自相關函數等)時,無需作無限多次的考察,只要獲得一次考察,用一次實現的“時間平均”值代替過程的“統計平均”值即可,從而使測量和計算的問題大為簡化。具有各態歷經的隨機過程一定是平穩過程,反之不一定成立。在通信系統中所遇到的隨機信號和噪聲,一般均能滿足各態歷經條件。*第3章 隨機過程 [例3-1] 設一個隨機相位的正弦波為 其中,A和?c均為常數;?是在(0, 2π)內均勻分布的隨機變量。試討論?(t)是否具有各態歷經性。 【解】(1)先求?(t)的統計平均值: 數學期望*第3章 隨機過程自相關函數令t2 – t1 = ?,得到可見, ?(t)的數學期望為常數,而自相關函數與t 無關,只與時間間隔? 有關,所以?(t)是廣義平穩過程。*第3章 隨機過程 (2) 求?(t)的時間平均值 比較統計平均與時間平均,有 因此,隨機相位余弦波是各態歷經的。*第3章 隨機過程3.2.3 平穩過程的自相關函數平穩過程自相關函數的定義:平穩過程自相關函數的性質 — ?(t)的平均功率 — ?的偶函數 — R(?)的上界 即自相關函數R(?)在? = 0有最大值。 — ?(t)的直流功率 表示平穩過程?(t)的交流功率。當均值為0時,有 R(0) = ?2 。 *第3章 隨。省略部分。譜密度;求輸出過程?o(t)的統計特性,即它的均值、自相關函數、功率譜以及概率分布。*第3章 隨機過程輸出過程?o(t)的均值 對下式兩邊取統計平均: 得到 設輸入過程是平穩的 ,則有 式中,H(0)是線性系統在 f = 0處的頻率響應,因此輸出過程的均值是一個常數。*第3章 隨機過程輸出過程?o(t)的自相關函數:根據自相關函數的定義 根據輸入過程的平穩性,有于是 上式表明,輸出過程的自相關函數僅是時間間隔? 的函數。 由上兩式可知,若線性系統的輸入是平穩的,則輸出也是平穩的。 *第3章 隨機過程輸出過程?o(t)的功率譜密度 對下式進行傅里葉變換: 得出 令 ?? = ? + ? - ?,代入上式,得到 即結論:輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統頻率響應模值的平方。應用:由Po( f )的反傅里葉變換求Ro(?) *第3章 隨機過程輸出過程?o(t)的概率分布如果線性系統的輸入過程是高斯型的,則系統的輸出過程也是高斯型的。 因為從積分原理看, 可以表示為: 由于已假設?i(t)是高斯型的,所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。因此,輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論理論得知,這個“和” 也是高斯隨機變量,因而輸出過程也為高斯過程。 注意,與輸入高斯過程相比,輸出過程的數字特征已經改變了。*第3章 隨機過程3.5 窄帶隨機過程 什么是窄帶隨機過程? 若隨機過程?(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍?f 內,即滿足?f << fc的條件,且 fc 遠離零頻率,則稱該?(t)為窄帶隨機過程。 *第3章 隨機過程典型的窄帶隨機過程的譜密度和樣本函數 *第3章 隨機過程窄帶隨機過程的表示式式中,a? (t) - 隨機包絡, ?? (t) - 隨機相位 ?c - 中心角頻率顯然, a? (t)和?? (t)的變化相對于載波cos ?ct的變化要緩慢得多。*第3章 隨機過程窄帶隨機過程表示式展開可以展開為式中 - ?(t)的同相分量 - ?(t)的正交分量可以看出:?(t)的統計特性由a? (t)和?? (t)或?c(t)和?s(t)的統計特性確定。若?(t)的統計特性已知,則a? (t)和?? (t)或?c(t)和?s(t)的統計特性也隨之確定。 *第3章 隨機過程3.5.1 ?c(t)和?s(t)的統計特性設?(t)是一個均值為零的窄帶平穩高斯過程,則:同相分量?c(t)和正交分量?s(t)同樣是平穩高斯過程。 ?c(t)和?s(t)的均值也為零,且方差相同,等于?(t)的方差。在同一時刻上得到的?c和?s是互不相關的或統計獨立的。*第3章 隨機過程結論:一個均值為零的窄帶平穩高斯過程?(t) ,它的同相分量?c(t)和正交分量?s(t)同樣是平穩高斯過程,而且均值為零,方差也相同。此外,在同一時刻上得到的?c和?s是互不相關的或統計獨立的。*第3章 隨機過程3.5.2 a?(t)和??(t)的統計特性 設?(t)是一個均值為零的窄帶平穩高斯過程,則:a?的一維概率密度函數 a?服從瑞利(Rayleigh)分布。??的一維概率密度函數 ??服從均勻分布。*第3章 隨機過程結論 一個均值為零,方差為??2的窄帶平穩高斯過程?(t),其包絡a?(t)的一維分布是瑞利分布,相位??(t)的一維分布是均勻分布,并且就一維分布而言, a?(t)與??(t)是統計獨立的 ,即有 *第3章 隨機過程3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中 - 窄帶高斯噪聲 ? - 正弦波的隨機相位,均勻分布在0 ~2?間 A和?c - 確知振幅和角頻率于是有式中*第3章 隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡和相位表示式包絡:相位:*第3章 隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡的統計特性包絡的概率密度函數 f (z)式中,σn2——n(t)的方差I(o)——零階修正貝塞爾函數f (z)稱為廣義瑞利分布,又稱萊斯(Rice)分布。*第3章 隨機過程討論當信號很小時,即A ? 0時,信號功率與噪聲功率的比值γ=A2/2?n2很小,相當于Az/?n2很小, I0 (Az/?n2) ? 1,上式的萊斯分布退化為瑞利分布。當γ=A2/2?n2很大時,有 這時上式近似為高斯分布,即*第3章 隨機過程包絡概率密度函數 f (z)曲線*第3章 隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統計特性F(?)*第3章 隨機過程結論:正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡分布與信噪比有關。一般情況下,包絡服從萊斯分布;小信噪比時,包絡接近瑞利分布;大信噪比時,包絡接近高斯分布。正弦波加窄帶高斯噪聲的隨機相位分布與信噪比有關。小信噪比時,隨機相位接近于均勻分布;大信噪比時,隨機相位集中在信號相位附近,信噪比越大,相位集中程度越高。*第3章 隨機過程3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲白噪聲n (t)定義:功率譜密度在所有頻率上均為常數的噪聲,即 - 雙邊功率譜密度 或 - 單邊功率譜密度 式中 n0 - 正常數白噪聲的自相關函數:對雙邊功率譜密度取傅里葉反變換,得到相關函數:*第3章 隨機過程白噪聲和其自相關函數的曲線:*第3章 隨機過程白噪聲的功率 由于白噪聲的帶寬無限,其平均功率為無窮大,即 或因此,真正“白”的噪聲是不存在的,它只是構造的一種理想化的噪聲形式。 實際中,只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統的工作頻帶,我們就可以把它視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布,則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間,不僅是互不相關的,而且還是統計獨立的。 *第3章 隨機過程低通白噪聲定義:如果白噪聲通過理想矩形的低通濾波器或理想低通信道,則輸出的噪聲稱為低通白噪聲。 功率譜密度由上式可見,白噪聲的功率譜密度被限制在| f | ? fH內,通常把這樣的噪聲也稱為帶限白噪聲。 自相關函數*第3章 隨機過程功率譜密度和自相關函數曲線由曲線看出,這種帶限白噪聲只有在 上得到的隨機變量才不相關。 *第3章 隨機過程帶通白噪聲定義:如果白噪聲通過理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道,則其輸出的噪聲稱為帶通白噪聲。 功率譜密度 設理想帶通濾波器的傳輸特性為 式中 fc - 中心頻率,B - 通帶寬度 則其輸出噪聲的功率譜密度為*第3章 隨機過程自相關函數*第3章 隨機過程帶通白噪聲的功率譜和自相關函數曲線*第3章 隨機過程窄帶高斯白噪聲通常,帶通濾波器的 B << fc ,因此稱窄帶濾波器,相應地把帶通白高斯噪聲稱為窄帶高斯白噪聲。窄帶高斯白噪聲的表達式和統計特性見3.5節。平均功率
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