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自動控制原理(胡壽松)第五版第三章ppt.ppt

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第三章 線性系統的時域分析法3.1 線性系統時間響應的性能指標3.2 一階系統的時域響應3.3 二階系統的時域響應3.4 高階系統的時域響應3.5 穩定性分析3.6 穩態誤差計算 分析和設計控制系統的首要工作是確定系統的數模,一旦獲得系統的數學模型,就可以采用幾種不同的方法去分析系統的性能。 線性系統:時域分析法,根軌跡法,頻率法 非線性系統: 多輸入多輸出系統:描述函數法,相平面法 采樣系統:Z 變換法狀態空間法§3-1 線性系統時間響應的性能指標 3.1.1典型輸入信號 動態性能,靜態性能。 動態性能需要通過其對輸入信號的響應過程來評價。因此在分析和設計控制系統時,需要一個對系統的性能進行比較的基準---典型輸入信號。條件:1 能反映實際輸入;2 在形式上盡可能簡單,便于分析;3 使系統運行在最不利的工作狀態。t f(t)01考查系統對恒值信號的跟蹤能力 A=1,稱單位斜坡函數,記為 t·1(t) 2. 斜坡函數 (等速度函數) t f(t)0考查系統對勻速信號的跟蹤能力 3. 拋物線函數(等加速度函數)A=1,稱單位拋物線函數,記為t f(t)0考查系統的機動跟蹤能力 4. 脈沖函數t ?(t)0考查系統在脈沖擾動下的恢復情況 各函數間關系:(5)正弦函數 二. 階躍響應的時域性能指標c(t) = ct(t) + css(t) = 暫態響應 + 穩態響應 1. 暫態性能指標 圖3-2 (1) 延遲時間td:c(t)從0到0.5c(∞)的時間。(2)上升時間tr:c(t)第一次達到c(∞)的時間。無超調時, c(t)從0.1 c(∞)到0.9 c(∞)的時間。(3) 峰值時間tp: c(t)到達第一個峰值的時間(4)調節時間ts: c(t)衰減到與穩態值之差不超過±2%或±5%所需的時間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號△表示,即 △ =2%或 △ =5% 。(5)超調量s%:c(t) 最大峰值偏離穩態值的部分,常用百分數表示,描述的系統的平穩性。2. 穩態性能指標 穩態誤差ess:穩定系統誤差的終值。即最后一節細講。凡是可用一階微分方程描述的系統,稱為一階系統。T=RC,時間常數。其典型傳遞函數及結構圖為:3.2 一階系統的時域分析 R C r(t) c(t) 1Ts﹣+R(s)C(s) 1Ts+1R(s)C(s)tc(t)?。啊?T  2T 3T 4T 當輸入信號r(t)=1(t)時,系統的響應c(t)稱作其單位階躍響應。3.2.1 單位階躍響應 響應曲線在[0,?) 的時間區間中始終不會超過其穩態值,把這樣的響應稱為非周期響應。無振蕩0.6320.950.9820.8651.0一階系統的瞬態響應指標調整時間ts 定義:︱c(ts) ?1 ︱= ? ( ?取5%或2%) 一階系統響應具備兩個重要的特點:①可以用時間常數T去度量系統輸出量的數值。②響應曲線的初始斜率等于1/T?!。啊?T  2T 3T 4T tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系統的慣性。T越小慣性越小,響應快!T越大,慣性越大,響應慢。3.2.2 單位斜坡響應 [ r(t) = t ] tc(t)0r(t)= tc(t) = t ﹣T + Te﹣t/T 穩態響應是一個與輸入斜坡函數斜率相同但在時間上遲后了一個時間常數T的斜坡函數。TT穩態分量(跟蹤項+常值)暫態分量 表明過渡過程結束后,其穩態輸出與單位斜坡輸入之間,在位置上仍有誤差,一般叫做跟蹤誤差。比較階躍響應曲線和斜坡響應曲線: 在階躍響應中,輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而減小,最終趨于0,而在初始狀態下,位置誤差最大,響應曲線的斜率也最大;無差跟蹤 在斜坡響應中,輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而增大,最終趨于常值T,在初始狀態下,位置誤差和響應曲線的斜率均等于0。有差跟蹤?!? tc(t)1.0tc(t)0r(t)= tTT3.2.3 單位脈沖響應 [R(s)=1] 它恰是系統的閉環傳函,這時輸出稱為脈沖(沖激)響應函數,以h(t)標志。 求系統閉環傳函提供了實驗方法,以單位脈沖輸入信號作用于系統,測定出系統的單位脈沖響應,可以得到閉環傳函。對應T 2T 3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T線性定常系統的重要性質 2. 在零初始條件下,當系統輸入信號為原來輸入信號時間的積分時,系統的輸出則為原來輸出對時間的積分,積分常數由零初始條件決定。 1.當系統輸入信號為原來輸入信號的導數時,這時系統的輸出則為原來輸出的導數。3.3.1 二階系統的數學模型 標準化二階系統的結構圖為:  閉環傳遞函數為 二階系統有兩個結構參數ξ (阻尼比)和?n(無阻尼振蕩頻率) 。二階系統的性能分析和描述,都是用這兩個參數表示的。3.3 二階系統的時域分析s(s+2ξ?n)R(s)C(s)?n2 ﹣+微分方程式為: 對于不同的二階系統,阻尼比和無阻尼振蕩頻率的含義是不同的。 例如: RLC電路RCr(t)c(t)L j? ? 03.3.2 二階系統的閉環極點二階系統的閉環特征方程,即 s 2 + 2ξ?n s + ?n2 = 0其兩個特征根為: 上述二階系統的特征根表達式中,隨著阻尼比ξ 的不同取值,特征根有不同類型的值,或者說在s平面上有不同的分布規律。分述如下:s1s2ξ >1 時,特征根為一對不等值的負實根,位于s 平面的負實軸上,使得系統的響應表現為過阻尼的。(3) 0 < ξ < 1 時,特征根為一對具有負實部的共軛復根,位于s平面 的左半平面上,使得系統的響應表現為欠阻尼的。(2) ξ=1時,特征根為一對等值的負實根,位于s 平面的負實軸上,使得系統的響應表現為臨界阻尼的。 j? ? 0s1= s2 = ? ?n?ns1s2 j?d ? ξ?n j? ? 0 j? ? 0 (4) ξ=0 時,特征根為一對幅值相等的虛根,位于s平面的虛軸上,使得系統的響應表現為無阻尼的等幅振蕩過程。 j?n j? ? 0 (5) ξ <。省略部分。 412.2 4-1sS1 勞斯表中第一列元素不全為正,且第一列元素符號改變了一次,故系統在s1 右半平面有一個根。因此,系統在垂直線 s = ?1的右邊有一個根。s13s12s11s10 2 ?1 4 ?1?0.5 ?13.6 線性系統的誤差分析3.6.1 誤差的基本概念 1. 誤差的定義 誤差的定義有兩種: ① 從系統輸入端定義,它等于系統的輸入信號與反饋信號之差,即 E(s)=R(s) ?B(s) ② 從系統輸出端定義,它定義為系統輸出量的期望值與實際值之差。 Eo(s)=R(s) ?C(s) 對于單位反饋系統,兩種定義是一致的。 2. 兩種定義的關系G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s) 由圖可知,R′(s)表示等效單位反饋系統的輸入信號,也就是輸出的期望值。因而, E′(s)是從輸出端定義的非單位控制系統的誤差。 E(s) = R(s) ?B(s) = R(s) ?H(s)C(s) 由此可見,從系統輸入端定義的穩態誤差,可以直接或間接地表示從系統輸出端定義的穩態誤差。G(s)H(s)R(s)C(s) 1H(s)E' (s)R'(s)﹣+ 3. 穩態誤差ess定義:例3-8 設單位反饋控制系統的開環傳函為: 當 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3解法一:試求當輸入信號分別為r(t) = t2/2 ,r(t) = 1(t) , r(t) = t , r(t) = sinωt 時,控制系統的穩態誤差。 解: 終值定理的條件: 除原點外,在虛軸及s平面的右半平面無極點。解法二:e(t) = T(t-T) + T2 e- t/T (2) 當 r(t) = 1(t) R(s) =1/s(3) 當 r(t) = t R(s) =1/s2(4) 當r(t) = sinωt R(s) = ω/(s2 + ω2) 終值定理的條件不成立! 終值定理的條件: 除原點外,在虛軸及s平面的右半平面無極點。3.6.2 給定作用下的穩態誤差計算不失一般性,閉環系統的開環傳遞函數可寫為:υ = 0 稱為 0 型系統;υ = 1 稱為Ⅰ型系統;υ = 2 稱為Ⅱ型系統。等等在一般情況下,系統誤差的拉氏變換為:1. 階躍輸入作用下的穩態誤差令稱為系統的靜態位置誤差系數 0 型系統: Kp = K ess = A/ (1+ K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系統: Kp = ∞ ess = 02. 單位斜坡輸入作用下的穩態誤差令靜態速度誤差系數 0 型系統:Kv = 0 ess = ∞,0型系統無法跟蹤斜坡輸入 Ⅰ型系統:Kv = K ess = B/ K, 有差跟蹤Ⅱ型及Ⅱ型以上系統: Kv = ∞ ess = 0, 無差跟蹤3. 加速度輸入作用下的穩態誤差令靜態加速度誤差系數 0 型系統: Ka = 0 ess = ∞ Ⅰ型系統: Ka = 0 ess = ∞ Ⅱ型系統: Ka = K ess = C/ K Ⅲ型及Ⅲ型以上系統:Ka = ∞ ess = 0階躍、斜坡、加速度輸入作用下的穩態誤差r(t)=Ct2/2r(t)=B tr(t)=A·1(t)靜態誤差系數系統型別ess=C/Ka ess=B/Kv ess=A/(1+ Kp ) Kp Kv Kaυ∞∞A/(1+ K ) K 0 00∞C/K 00 ∞ ∞ K2B/K 0 ∞ K 01例3-9 已知兩個系統如圖所示,當參考輸入 r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ,試分別求出兩個系統的穩態誤差。 解:圖(a),Ⅰ型系統 Kp = ∞, Kv =10/4 ,Ka = 0圖(b),Ⅱ型系統Kp = ∞, Kv = ∞ ,Ka = 10/4 10s(s+4)R(s)C(s)E(s)(a)﹣+10(s+1) s2(s+4)R(s)C(s)E(s)(b)﹣+3.6.3 擾動作用下的穩態誤差 所有的控制系統除承受輸入信號作用外,還經常處于各種擾動作用之下。因此,系統在擾動作用下的穩態誤差數值,反映了系統的抗干擾能力。 計算系統在擾動作用下的穩態誤差,同樣可以采用拉氏變換終值定理。 例3-10 控制系統如圖G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++H(s) =1,G1(s)=K1,G2(s)=K2 / s(Ts+1) 試求系統在單位階躍給定和單位階躍擾動共同作用下的穩態誤差。解:(1)單位階躍給定作用下的穩態誤差:系統是Ⅰ型系統: Kp = ∞ ess = 0 (2)單位階躍擾動作用下的穩態誤差。系統誤差的拉氏變換為 K1R(s)C(s)﹣+E(s)K2 s(Ts+1)N(s)++ 系統結構穩定,且滿足終值定理的使用條件。擾動單獨作用時穩態誤差為 (3)根據線性系統的疊加原理,系統在單位階躍給定和單位階躍擾動共同作用下的穩態誤差為3.6.4 提高系統控制精度的措施 上面的分析和例題可知: 通過調整系統的結構和參數,可以提高系統精度,比如:增加積分環節的個數或增大開環放大倍數;但積分環節個數一般不能超過2個,K也不能任意擴大,否則會造成動態品質變差,甚至造成系統不穩定。 解決的辦法是引入與給定或擾動作用有關的附加控制作用,構成復合控制系統。例3-8 控制系統結構圖如圖所示。圖中 試確定補償通道的傳遞函數,使系統在單位斜坡給定作用下無穩態誤差。Gb(s)R(s)C(s)﹣+E(s)G (s)++解:系統誤差的拉氏變換為(根據梅遜公式)第三章 線性系統的時域分析法小 結1 基本知識點 A 各階系統的數學模型及典型階躍輸入下的時域響應的特點,特別是二階系統動態性能指標的計算p106; B 勞斯穩定判據p121; C 穩態誤差的定義及計算!p126; D 改善動態性能及提高精度的措施p129;第三章 線性系統的時域分析法2有關例題二、設某系統的特征方程式為,求其特征根,并判斷系統 的穩定性。 三、控制系統方塊圖如圖所示:四、(10分) 在如圖所示的系統中,、n(t)=4t。求系統的穩態誤差。 謝 謝 !
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