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王劃一_自動控制原理_5-1頻率特性.ppt

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第五章 頻率響應法 5.1 頻率特性 5.2 典型環節的頻率特性 5.3 控制系統的頻率特性 5.4 奈奎斯特穩定判據 5.5 穩定裕量 5.6 閉環頻率特性 5.7 頻率特性分析第五章 頻率響應法第五章 頻率響應法11 頻率法的思路是: 建立頻率特性 → 作為一種數模 → 相應的系統分析方法→ 頻率指標 → 利用與時域指標的對應關系 → 轉換成時域指標2 頻率法的特點: (1) 應用奈氏穩定判據,根據系統的開環頻率特性研究閉環穩定性,而不必解特征方程的根; (2) 系統的頻率特性可用實驗方法測出; (3) 用頻率法設計系統,可使噪聲忽略或達到規定的程度; (4) 頻率法可用某些非線性系統。25-1 頻率特性5.1.1 頻率特性的基本概念解: RC電路的微分方程為 式中,T=RC。網絡的傳函為: R C r(t) c(t) 例: RC線性電路,當輸入為正弦電壓r(t)=Asin?t 時,c(t)的穩態輸出為多少?3如果輸入為正弦電壓r(t)=Asin?t ,c(t)的穩態輸出:4css(t)1?T5 tr(t) css(t)t r(t)t0css(t)t06由此可見:① 網絡的穩態輸出電壓仍然是正弦電壓,其頻率和輸入電壓頻率相同。② 穩態輸出電壓幅值是輸入電壓幅值 ,是頻率? 的函數,稱為RC網絡的幅頻特性。③ 穩態輸出電壓相角比輸入電壓相角遲后了arctan?T,是頻率? 的函數,稱為RC網絡的相頻特性。④ 上式完全地描述了網絡在正弦輸入電壓作用下,穩態輸出電壓幅值和相角隨正弦輸入電壓頻率變化的規律,稱為網絡的頻率特性。7⑤ 即把傳函中的s 用j? 代替就可得到頻率特性?!?幅頻特性—— 相頻特性css(t) = A ? ?G( j?) ? ?sin[ ?t + ?G( j?) ] 下面證明對圖所示的線性定常系統,傳遞函數與頻率特性的關系, 。 G(s)c(t)r(t)8r(t) = r0 ?cos( ?t + ? )假設? = 0,則 r(t) = r0 ?cos ?t C(s) = G(s) R(s)9101 頻率特性:指線性系統或環節在正弦函數作用下穩態輸出與輸入復數符號之比對頻率的關系特性,用G(j?) 表示。 物理意義:反映了系統對正弦信號的三大傳遞能力同頻,變幅,相移。2 幅頻特性:穩態輸出與輸入振幅之比,用A(?) 表示。 A(?) = ?G(j?)?3 相頻特性:穩態輸出與輸入相位差,用 ?(?)表示。?(?)= ?G(j?)4 實頻特性: G(j?) 的實部,用Re(?)表示。 5 虛頻特性: G(j?) 的虛部,用Im(?)表示。G(j?) = A(?) e j?(?) = Re(?) + j Im(?)4.1.2 定義11 特點是:把頻率? 看成參變量,當?從0??時,將幅頻特性和相頻特性表示在同一個復數平面上。前面討論的RC電路的極坐標圖。5.1.3 幾何表示 1. 極坐標圖(幅相頻率特性曲線)?=1 ?=? ?=0ImRe0 2. 伯德圖(對數頻率特性曲線) 包括對數幅頻特性曲線和對數相頻特性曲線。橫坐標表示頻率? ,按對數分度,單位是rad/s 。G(j?)10? lg? 20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.95410112橫軸按頻率的對數lg?標尺刻度,但標出的是頻率?本身的數值。因此,橫軸的刻度是不均勻的。橫軸壓縮了高頻段,擴展了低頻段。 在?軸上,對應于頻率每一倍變化,稱為一倍頻程,例如? 從1到2,2到4,3到6,10到20等的范圍都是一倍頻程 ;?=1?=10?23456789每變化十倍,稱為十倍頻程(dec),例如? 從1到10,2到20 ,10到100等的范圍都是十倍頻程 ;所有的十倍頻程在?軸上對應的長度都相等。20304013 對數幅頻特性曲線的縱坐標表示對數幅頻特性的函數值,均勻分度,單位是dB(分貝)。 L(?) = 20lgA(?) 相頻曲線的縱坐標表示相頻特性的函數值,均勻分度,單位是度。 ?(?) =∠G(j?) 14L(?)/dB?(?)/(°)90°?90°20?20? (rad/s)? (rad/s) 1 2 3 4 5 6 10 20 30 100 1 2 3 4 5 6 10 20 30 10015下圖是 RC網絡G(j?) =1/(1+ jT?),T = 0.5時對應的伯德圖。 ?L(?)/dB0202-20dB/dec?-90°?(?)/(°)0°16?-90°?(?)/(°)0°5-2 典型環節的頻率特性 1 .比例環節 其傳遞函數為 G(s) = K 頻率特性為 G(j? ) = K (1)極坐標圖 A(? ) = K ?(?) = 0? (2)伯德圖 L(? ) = 20lgK ?(?) = 0?ImRe0K20lgK?L(?)/dB020?(?) = 0?17(2)伯德圖 L(?) = 20lgA(?) = ?20lg? ?(?) = ?90?ImRe0?=0?=?(1)極坐標圖 ?(?) = ?90???90°?(?)/(°)0°?20dB/dec?L(?)/dB020110 2 積分環節 頻率特性 183 微分環節 頻率特性 G(j?) = j? (1)極坐標圖 A(?) = ? ?(?) = ?90? (2)伯德圖 L(?) = 20lgA(?) = 20lg? ?(?) = 90? 由于微分環節與積分環節的傳遞函數互為倒數, L(?)和 ?(?) 僅相差一個符號。因此,伯德圖是對稱于?軸的。ImRe0?=0?=??90°?(?)/(°)0°?L(?)/dB02010120dB/dec194 慣性環節 頻率特性為(1)極坐標圖實部與虛部表達式為:其模角表達式為:ImRe0 ?=? ?=0 120(2)伯德圖對數幅頻特性 因此,慣性環節的對數幅頻特性曲線可用兩條直線近似表示,這兩條直線稱為漸近線。兩條直線交于?T = 1或? =1/T。頻率1/T 稱為慣性環節的交接頻率或轉折頻率。1/T? L(?)〔1〕當? ??1/T時,L(?)。省略部分。 由開環傳遞函數零極點形式先標出每一零點和極點,當s=j?時,可作出相應零點或極點對應的矢量(頻率特性),根據所對應的?值,計算出有關矢量的長度和角度,就能求得頻率特性。 例5-2 由極點—零點分布圖求例1中的頻率特性 解:40 G(j0) = 0?90? G(j1/T) = 0.707?45? G(j2/T) = 0.895?30? G(j5/T) = 0.982?11.3? G(j?) = 1?0? ?0 j?-1/Tj?+1/T?ImRe0? =1/T2/T5/T ? = ?414. 開環極坐標圖的近似繪制 (1) 根據開環零-極點圖確定起點(? =0):精確求出 A(0) ,?(0) ; (2) 確定終點(? =?):求出A(?) ,?(?) ; (3) 確定曲線與坐標軸的交點: G(j?)=Re(?)+j Im(?) 與實軸的交點: 令 Im(?) = 0 ? 求出 ?x ? 代入 Re(?x) (4) 由起點出發,繪制曲線的大致形狀。試繪制系統的開環幅相曲線。解:系統開環頻率特性 例5-3 已知系統開環傳函為42(1)Gk (j0) = k?0? (2)Gk (j?) = 0??180?(3)當? 增加時,?(?)是單調減的,從0?變化到?180?。?0j?-1/T1-1/T243ImRe0?=0???幅相曲線大致形狀如圖:44例5-4 已知系統開環傳函為試繪制系統的開環幅相曲線。 解:系統開環頻率特性 (1)Gk (j0) = ???90? (2)Gk (j?) = 0??180?(3)與實軸的交點:?0j?-1j?+1? 當? =0時,實部函數有漸近線為-1,可以先作出漸近線。通過分析實部和虛部函數,可知與坐標軸無交點。45開環概略極坐標圖如下所示:ImRe0?=0?→?-146例5-5 已知系統開環傳函為試繪制系統的開環幅相曲線。 解:根據零-極點分布圖?0j?-1-2-0.5 1)Gk (j0) = ???180? 2)Gk (j?) = 0??270? 3)與實軸的交點:令 Im(?)= 0 ?x = 0.707 Re(?x) = ?2.67k47ImRe0?=0?→?-2.67k開環概略極坐標圖如下所示:485.3.2 開環伯德圖 開環對數幅頻特性和開環對數相頻特性分別為說明: Lk(?)和?k(?)分別都是各典型環節的疊加。 例5-6 已知一單位反饋系統,其開環傳函為要求繪制伯德圖。49?L(?)/dB0201?20dB/dec105①②③?40dB/dec?20dB/dec 解:開環傳函由以下三個典型環節組成: ① 比例環節 10 ② 積分環節 1/s ③ 慣性環節 1/(0.2s+1)50分析開環對數幅頻曲線,有下列特點:(1)最左端直線的斜率為?20 dB/dec,這一斜率完全由G(s)的積分環節數決定;(2)? =1時,曲線的分貝值等于20 lgk;(3)在慣性環節交接頻率5(rad/s)處,斜率從?20dB/dec變為?40 dB/dec 。?L(?)/dB0201?20dB/dec105①②③?40dB/dec?20dB/dec51一般的近似對數幅頻曲線特點:(1) 最左端直線的斜率為?20NdB/dec,N是積分環節個數;(2) 在? =1時,最左端直線或其延長線的分貝值等于20lgk(3) 在交接頻率處,曲線的斜率發生改變,改變多少取決于典型環節種類。例如,在慣性環節后,斜率減少20dB/dec;而在振蕩環節后,斜率減少40 dB/dec。繪制近似對數幅頻曲線的步驟:① 在半對數坐標上標出所有的轉折頻率;② 確定低頻段的斜率和位置;③ 由低頻段開始向高頻段延伸,每經過一個轉折頻率,曲線的斜率發生相應的變化。52 對數相頻特性作圖時,首先確定低頻段的相位角,其次確定高頻段的相位角,再在中間選出一些插值點,計算出相應的相位角,將上述特征點連線即得到對數相頻特性的草圖。?k(?) = 0??90??arctan(0.2?)?-90?(?)/(°)0-180?k(0)= ?90? ?k(?) = ?180??k(1)= ?101.3? ?k(5)= ?135? ?k(10) = ?153.4? 1 5 1053 例5-7 繪制單位反饋系統的開環傳函為試繪制系統的對數幅頻曲線。 解:將傳函化簡成標準形式?L(?)/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/dec?c =5?c 幅值穿越頻率54定義: 開環零點與開環極點全部位于s左半平面的系統為 最小相位系統,否則稱為非最小相位系統。 例5-8 已知兩個控制系統的開環傳函分別為:試繪制兩系統的開環伯德圖。 解:由定義知G1(s)對應的系統為最小相位系統,G2(s)對應的系統為非最小相位系統,頻率特性分別為:5.3.3 最小相位系統與非最小相位系統55?0j??1j?+1??0.5 j?+0.5j? ?01?j??0.5 j?+0.51其對應的零—極點分布圖如下:??1(?) = arctan? ? arctan2? ?2(?) = ? arctan? ? arctan2?56?L(?)/dB1-20dB/dec0.5?L(?)/dB1-20dB/dec0.5?-90?(?)/(°)0-180 -90?(?)/(°)0?1(?) =arctan??arctan2? ?2(?) = ?arctan? ?arctan2?57結論: ① 在具有相同的開環幅頻特性的系統中,最小相位系統的相角變化范圍最小; ②最小相位系統L(?)曲線變化趨勢與?(?)一致; ③最小相位系統L(?)曲線與?(?)兩者具有一一對應關系,因此在分析時可只畫出L(?) 。反之,在已知L(?)曲線時,也可以確定出相應的開環傳遞函數。 ④最小相位系統當???時,其相角?(?)????= ? 90??(n?m) n為開環極點數,m為開環零點數。 例5-9 某最小相位系統的開環對數幅頻特性曲線如圖示,試寫出該系統的開環傳遞函數。58?L(?)/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1 7 10215 解:低頻段直線斜率是?20 dB/dec,故系統包含一個積分環節。據? =1時,低頻段直線的坐標為15 dB,可知比例環節的k =5.6 。交接頻率為?=2和?=7,可以寫出系統的開環傳遞函數:59
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