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自動控制原理第三章.ppt

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第三章 控制系統的時域分析3.1 動態性能指標3.1.1 典型輸入信號 為了定量給出某個系統的抗擾性能和跟隨性能指標,需要討論在某一典型輸入或擾動輸入下,系統的零狀態響應曲線。通常使用的輸入信號有以下幾種:⑴ 單位脈沖函數 穩定性,抗干擾性⑵ 單位階躍函數 快速性⑶ 單位斜坡函數 跟隨性⑷ 單位加速度函數 跟隨性⑸ 正弦函數 cosωt 頻率特性3.1.2 動態性能指標動態或過渡過程:當暫態分量較大而不能忽略時,系統所處的狀態稱為動態或過渡過程。這時系統的特性叫動態特性。動態性能的一些指標是在輸入為單位階躍信號時定義的。非零狀態下的階躍響應與零狀態下的階躍響應波形形狀完全相同,所以只討論零狀態下的階躍響應。設零初始狀態,y(0)=0r (t)=1(t)時,y(t)的響應曲線為1.05 y(∞)y(∞)0.95 y(∞) ym y(t)trtptsym:單位階躍響應的最大偏離量。y(∞):單位階躍響應的穩態值。并非期望值。ts:調節時間。y(t)進入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)構成的誤差帶后不再超出的時間。tr:上升時間。 y(t) 第一次達到 y(∞)的時間。tp:峰值時間。超調量: 重要的指標:① ts 、 tr 、 tp表示快速性; tr 和tp表示初始快速性。 ts 表示 總體快速性。②σ表示系統的阻尼程度和平穩性。與穩定性有對應關系, 它不是穩定性指標。③穩態誤差(它是一個穩態值指標),是期望值與穩態值 y(∞)的差值。注意:輸入信號為非單位階躍信號時,依齊次性,響應只是沿縱軸拉伸或壓縮,基本形狀不變。所以ts 、 tr、 tp 、σ并不發生變化。當t ts時,稱系統處于穩態。3.1.3 一階系統的單位階躍響應一階系統(慣性環節) T >0單位階躍響應為 t≥0對于一般的一階系統 T >0單位階躍響應為 t ≥01.000.95y(∞)0.865y(∞)0.632y(∞)3T2Ty(∞)y(t)Tt特點:①無超調 σ=0 ②調節時間,ts=3T(單位為秒) ③y(t)的初始斜率為1/T3.1.4 二階系統的單位階躍響應二階系統閉環傳遞函數為這里的ζ和ωn都是正數。ωn:自然振蕩頻率(無阻尼ζ=0時的振蕩頻率); T:時間常數;ζ:阻尼系數;單位反饋時結構圖 1.過阻尼時,ζ>1系統極點為 為兩個負實數極點。單位階躍響應為第一項為穩態分量;第二項和第三項為指數衰減的暫態分量。調節時間: 超調量:σ=0ReImS2S10(a)ζ>1時的極點 ty(t)ζ大01ζ?。╞)ζ>1時的階躍響應 2.臨界阻尼ζ=1極點:s1,2=-ωn單位階躍響應為: 調節時間:超調量:σ=0ReImS2=S10(a)ζ=1時的極點 ty(t)01(b)ζ=1的階躍響應 3.欠阻尼 0<ζ<1極點:系統極點為 為兩個共軛虛數極點。單位階躍響應為第一項為穩態分量;第二項為振蕩衰減的暫態分量。y(t)01ωnt稱為二階振蕩環節。由二階振蕩環節的單位階躍響應解析式和圖形可以看出,參數 ωn 的變化只影響到曲線沿橫軸方向的拉伸或壓縮;而峰值的大小取決于參數ζ。①超調量:②峰值時間: ③上升時間: ④調節時間: σ隨ζ減小而增大4.無阻尼ζ=0極點:系統極點為s1,2=±jωn ;為兩個純虛數極點。單位階躍響應為 第一項為穩態分量; 第二項為等幅振蕩的暫態分量,振蕩頻率為ωn 。這也是稱 ωn 為無阻尼自然振蕩頻率的原因。這時系統臨界不穩定。ty(t)01例求階躍響應的動態性能 ? 和 ts 。解:化標準型為 則 3.1.5 高階系統的單位階躍響應高于二階的系統稱為高階系統設高階系統為其中,每一個( s-sj )包含一個實數特征根K(s)是 s 的多項式。每一個 包含一對共軛復數特征根單位階躍響應為其中,A0、Aj、Bk、Ck、Dk為常系數,sj 、-ζkωnk為特征根的實部。其中第1項是穩態分量,其余的部分是暫態分量。高階系統的分析方法: 高階系統的分析比較復雜和困難,一般將它與二階系統作比較分析,即把它看做是在二階系統的基礎上增加了零點和極點后形成的系統。 由上式可以看出,暫態項由衰減項構成,實數特征根對應指數衰減項,共軛復數特征根對應振蕩衰減項。例,兩個系統為 和 分別求它們在零初始狀態下的單位階躍響應。此例并非高階系統,是二階系統,目的是看增加零點對系統的影響。此例的特點是極點相同,零點不同。兩個系統具有實極點,都是過阻尼二階系統。解:輸出的拉氏變換分別為它們的拉氏反變換分別為對比兩式可以看出,極點決定衰減項的時間常數,零點決定衰減項的系數。零極點的分布與響應曲線G1(s):ReIm0-0.5-1-21y(t)t0G2(s):ImRe0-1-2-4/3ty(t)01 本例告訴我們,即使極點相同情況下,零點不同,輸出差別也很大,零點越靠近虛軸,阻尼越小。例2 系統的傳遞函數為 , 求零初始狀態下的單位階躍響應。此例是在欠阻尼二階系統基礎上增加了一個極點。目的是看增加極點對系統的影響。解:輸出的拉氏變換為拉氏反變換:令上式中得則響應為最后一個等號利用了歐拉公式。其中第1項是穩態分量,后2項是暫態分量。增加一個極點,。省略部分。別相等,即幅值條件: 相角條件:當無開環零點時式幅值條件的分母為1,相角條件中相應的相角為零。幅值條件和相角條件統稱為根軌跡方程。要點: 如果某s滿足相角條件,則必定同時滿足幅值條件,所以,相角條件是決定根跡軌的充分必要條件。繪制根軌跡只要滿足相角條件就可以了,幅值條件主要用來確定根跡軌上各點對應的K*值。滿足相角條件的軌跡叫根軌跡。例, ;對于根 ,求 K* 。同時可以驗證,點滿足相角條件,即解:極點 p1=0;p2=-2 零點 無Re0Im-1-213.3.4 繪制根軌跡法則 1.分支數和對稱性:n階系統有n支根軌跡,對稱于實軸。2.起點和終點:起始于開環極點,終止于開環零點和無窮遠點。3.實軸上的根軌跡:實軸上某一區域,若其右側開環實數零,極點的個數之和為奇數,則該區域必是根軌跡,只考慮實軸上的根軌跡。例3解:①二階系統,有兩條根軌跡。②確定根軌跡在實軸上的區域。③依起始點和終止點法則確定軌跡方向。Re0Im-1-24.分離點和會合點:分離點和會合點是下面方程的部分或全部的解:如果沒有開環零點 ,則右邊為 0 。兩支根軌跡的分離角和會合角為90度,它是分離點和會合點切線與實軸的夾角?;蛟O 例, ;畫出根軌跡① 畫出開環零、極點。② 確定根軌跡的條數,2條。 ③ 確定實軸上根軌跡的區域。④ 確定根軌跡的方向。⑤ 求出分離點和會合點。得:則分離點為x=-0.6會合點為x=-3.4或例 ① 畫出開環零、極點。② 確定根軌跡的條數,2條。 ③ 確定實軸上根軌跡的區域。④ 確定根軌跡的方向。⑤ 求出分離點和會合點。畫根軌跡。得:x=-2.12,0.12;0.12不在實軸的根軌跡區域內。取 x=-2.12 做會合點。5. 閉環極點之和:如果n-m≥2,則閉環極點之和等于開環極點之和。由于開環極點之和為定值,則閉環極點之和也為定值。由此可知,當某些根軌跡向左移動時,另一些根軌跡一定向右移動。6.漸近線:當根軌跡趨于無窮遠時,有漸近線,漸近線的條數為n - m條。全部漸近線與實軸的交點=漸近線與實軸的交角=例 畫根軌跡。① 畫出開環零、極點。② 確定根軌跡的條數,3條。 ③ 確定實軸上根軌跡的區域。④ 確定根軌跡的方向。⑤ 求出分離點和會合點。得 x= -0.42,-1.6;-1.6 不在實軸的根軌跡區域內。取 x= - 0.42作為分離點。⑥漸近線與實軸交點 =交角=0ReIm-1-2⑦ 與虛軸的交點在 中,令 ,求出相應的 和 值,為與虛軸的交點。例7,上例得 有解: 依令其根為純虛數 s=jω,代入上式:和這就是根軌跡與虛軸的交點 ,和交點處的根軌跡增益 。3.3.5 根軌跡分析1.由開環傳遞函數分析閉環系統的動態性能,屬定量分析通過作圖,得出每一個K*值對應的根軌跡,然后在圖上求出ζ,通過arccosζ和ωn,最后確定σ和ts。Re0Im0ReIm-1-2這樣求出的是近似值,因為只考慮主導極點,將系統近似為二階系統,在圖上測量arccosζ和ωn (極點至原點長度)。2.由開環傳遞函數中的參數來分析對閉環系統動態性能的影響,屬于定性分析例,結構圖為此形式看不出 τ 對系統的影響。實際是有影響的,但此形式不明顯。下面作一個變換,變成易于看出 τ 影響的形式。只考慮 Gb(s) 特征方程,進行同解變換得:等式兩邊同除 得變成 (在 Gb(s) 特征根不變前提下)進而 τ 相當于K* , τ值可以影響 Gb(s) 的根,改變 τ 則改變系統動態性能。畫根軌跡Re0Im由圖可見,τ ↑,arccosζ↓,ζ↑,σ ↓當 τ 大于某一特定值時,進入過阻尼,無超調。因此,可以定性地分析微分時間對系統的動態性能的影響。分析τ 變化對穩態性能 e(∞) 的影響,將原結構圖變形為:對應圖中的e1(∞),與 τ 無關。 e1(∞)是原題的穩態誤差,改變 τ 并不影響穩態性能。 對應圖中的e2(∞) ,與 τ 有關。 τ ↑, e2(∞) ↓3.改變開環傳遞函數來改變閉環動態性能,定性分析對于前邊例子中的令τ=0 ,則它應是 中K*=1的一點,對于G‘k(s),若想使 σ↓,只有K*↓,但這會影響穩態指標,使穩態精度下降。再看前邊的例子中,改變τ即可改變σ ,并不影響穩態指標,τ 不影響穩態指標是因為 τ 與 s 相乘,也就是說 τ 是一個只與暫態有關的參數,不影響穩態。3.4 前饋補償 所謂的前饋是將輸入信號饋送到控制量,與原控制量合成到一起。將給定輸入信號饋送到控制量稱為按給定的前饋補償。將擾動輸入信號饋送到控制量稱為按擾動的前饋補償。前饋補償部分屬于開環控制,與原來的閉環控制構成復合控制。 在做實際系統時,饋送點要根據系統的特點,選擇在控制量附近,不一定必須是控制量的位置。3.4.1 按擾動的前饋補償有擾動的動態結構圖為:目的:為了消除擾動,用補償的方式,就是引入一個與擾動相反,大小相等的信號來抵消擾動信號。假設G0和G1之間是可加入信號的距 N 加入點最近的加入點。選擇補償信號加入點,離N的加入點越近越好。設補償傳遞函數為Gc(s),則稱為全補償條件。使用全補償條件時應注意的問題,G1(s)的倒數會產生n﹤m的情況,n﹤m的環節,一般不宜實現。解決的方法:在分母上乘 (τs+1) 因子, τ 可以選的很小,使加入的因子成為非主導極點,對原系統的性能不造成大的影響,同時改變了n﹤m的情況。例如:則 n﹤m加入 (τs+1) 成為 n=m并使τ <<T,則(τs+1)不會影響系統性能。另外,也可以把Gc(s)近似成一個常數。即 3.4.2 按給定的前饋補償目的:解決系統快速性,使系統變成電阻性,無暫態過渡當取 時, 則稱Gc(s)為全補償條件。
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