東南大學自動控制原理課件 第一章 控制系統的狀態空間.ppt

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第一章 控制系統的狀態空間描述1.1 狀態向量與狀態空間一、狀態的定義 1、定義所謂系統狀態,是指在描述對象運動的所有變量中,必定可以找到數目最小的一組變量,它們足以描述對象的全部運動。狀態變量: 該變量組中的每個變量稱為狀態變量。 2、有關定義的兩點說明1)足以描述系統全部運動的含義:只要確定了這組變量在某一初始時刻 的值,并且確定了從這一初始時刻起( )的輸入量函數,則對象的全部變量在此刻和 ( )的運動都唯一確定了。 2)數目最小的含義:是指這個變量組中的每個變量都是相互獨立的。 二、狀態向量 若一個系統有n個狀態變量: ,用這n個狀態變量作為分量所構成的向量 ,就稱為該系統的狀態向量,用 表示。三、狀態空間 狀態空間:所有n維狀態向量的全體便構成了實數域上的n維狀態空間。 狀態軌跡:在狀態空間中,時間t是一個參變量,某一時間t的狀態是狀態空間中的一個點,而一段時間下狀態的集合稱為系統在這一時間段的狀態軌跡,有時也稱作相軌跡。四、輸入向量和輸出向量 輸入向量:將系統的各個輸入量看成一個列向量 。 :輸入量的個數 輸出向量:將系統的各個輸出量看成一個列向量 。 :輸出量的個數1、系統狀態變量的選取不是唯一的,但狀態的數目是一定的;2、系統的狀態和系統的輸出是兩個不同的概念。 系統的輸出通常有明確的物理含義,是可以測量的; 系統的狀態不一定有物理含義,不一定可以測量; 在線性系統中,輸出是系統狀態變量中某一個或某幾個的線性組合。1.2 狀態空間表達式一、狀態方程 1、狀態方程的定義所謂狀態方程,就是描述系統的狀態之間以及輸入和狀態之間動態關系的一階微分方程組。 2、狀態方程的標準形式 向量矩陣形式為狀態向量輸入向量 維的函數向量 3、線性定常系統的狀態方程 向量矩陣形式為 維的系數矩陣 維的系數矩陣二、輸出方程 1、輸出方程的定義所謂輸出方程,就是描述系統輸出量與狀態和輸入量之間相互關系的代數方程組。 2、輸出方程的標準形式 向量矩陣形式為輸出向量 維的函數向量 3、線性定常系統的輸出方程 向量矩陣形式為 維的系數矩陣 維的系數矩陣三、狀態空間表達式(狀態空間模型) 線性定常系統的狀態空間模型:將狀態方程和輸出方程合在一起,即或四、狀態空間模型與傳遞函數的比較 G(s)U(s)Y(s) 狀 態 方 程 輸 出 方 程 傳遞函數只能描述系統外部的輸入輸出關系,并不能反映系統內部狀態的變化,我們稱之為外部描述。狀態空間表達式將輸入輸出間的信息傳遞分為兩段來描述。第一段是輸入引起系統內部狀態發生變化,用狀態方程描述;第二段是系統內部的狀態變化引起系統輸出的變化,用輸出方程描述。由此可見,狀態空間表達式在一定程度上描述了系統內部變量的變化,所以我們稱之為內部描述。較之傳遞函數,狀態空間描述的優點有:3、狀態空間分析是一種時域分析方法,可用計算機直接在時域中進行數值計算。2、由前面的分析可以看出,對于不同維數的系統,可以采用同一表達方式來進行描述,由此可見從低維系統得到的結論可以方便地推廣到高維系統,只是計算復雜一些而已。1、可以方便地描述多輸入—多輸出系統;五、狀態空間模型的結構圖 六、狀態空間表達式的非唯一性 假設 和 是我們為某一系統選定的兩組不同狀態變量, 和 之間有一一對應的變換關系即可逆變換關系,對于線性系統而言,這種關系就是線性非奇異變換,既 與 之間必有關系其中 為非奇異常數矩陣設以 為狀態向量時系統的狀態空間表達式為而以 為狀態向量時系統的狀態空間表達式為下面我們來推導兩者之間的對應關系。設以 為狀態向量時系統的狀態空間表達式為 表明,在同一系統中,不同的狀態向量所對應的系數矩陣之間有相似變換關系。例 試建立下圖所示電路網絡的狀態方程和輸出方程。解: (1)描述系統的微分方程為選擇系統的狀態變量為 , ,輸入 寫成向量矩陣形式為輸出 ,寫成向量矩陣形式為 (2)描述系統的微分方程為選擇系統的狀態變量為 , ,輸入 寫成向量矩陣形式為輸出 ,寫成向量矩陣形式為例 試建立下圖所示電路網絡的狀態方程和輸出方程。1.3 傳遞函數矩陣例:系統如下圖所示,輸入為 和 ,輸出為 。 解:列寫回路的電壓方程和節點的電流方程選取 為狀態變量,輸出 ,得系統的狀態空間表達式為設初始條件為零,對上式兩端進行拉普拉斯變換,得消去 并整理得寫成向量矩陣形式為其中 輸入變量的Laplace變換象函數 輸出變量的Laplace變換象函數 傳遞函數矩陣一、傳遞函數矩陣 維輸入向量 維輸出向量則對應的系統的傳遞函數矩陣為多輸入量多輸出量的對象常用復線框來表示二、傳遞函數矩陣與狀態空間表達式之間的關系 三、傳遞函數矩陣的不變性 對于一個系統而言,其狀態空間表達式不是唯一的,但其傳遞函數矩陣是不變的。例:求下列系統的傳遞函數矩陣。其中解:例:求下列系統的傳遞函數矩陣。其中解:四、組合系統的狀態空間表達式和傳遞函數矩陣 1、并聯連接 2、串聯連接 3、反饋連接 在反饋連接中,若 則稱為單位矩陣反饋(單位反饋)或直接反饋??刂破鞅豢貙ο?.4 根據系統的微分方程建立狀態空間表達式一、微分方程右邊輸入函數中不含有導數項的情況 二、微分方程右邊輸入函數中含有導數項的情況 1.5 根據系統的傳遞函數建立狀態空間表達式一、直接分解(虛擬輸出法)實現:由輸入輸出模型建立狀態空間模型的過程稱為實現。最小實現:維數最小的實現。本節討論單輸入單輸出系統的幾種實現方法,即采用分解的方法,將一個n 階系統分解成 n 個一階系統。傳遞函數的分解有三種方法:直接分解(虛擬輸出法)、串聯分解和并聯分解。 這種方法適用于傳遞函數的分母和分子多項式沒有分解成因式的形式。 引入虛擬輸出量 ,按這種方法得到的狀態空間模型,通常稱為能控標準型。二、串聯分解 這種方法適用于傳遞函數已被分解為因式的形式,如三、并聯分解(部分分式法) 這種方法適用于傳遞函數的分母多項式已經分解為因式的形式,如 1、系統極點兩兩互異 (1)、根據圖 a 可寫出狀態方程和輸出方程為 (2)、根據圖 b 可寫出狀態方程和輸出方程為 2、系統極點有重根 例 已知控制系統的微分方程式為試寫出系統的狀態空間表達式。解: 方法一、直接根據微分方程求解方法二、根據傳遞函數求解
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控制系統 第一章 狀態 自動控制 原理 空間 東南大學
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