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分類加法計數原理和分步乘法計數原理(三).ppt

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分類計數原理與分步計數原理(三)一、復習回顧:兩個計數原理的內容是什么?解決兩個計數原理問題需要注意什么問題?有哪些技巧?練習:三個比賽項目,六人報名參加。1)每人參加一項有多少種不同的方法?2)每項1人,且每人至多參加一項,有多少種不同的方法?3)每項1人,每人參加的項數不限,有多少種不同的方法?例1 用0,1,2,3,4,5這六個數字,(1)可以組成多少個各位數字不允許重復的三位的奇數?(2)可以組成多少個各位數字不重復的小于1000的自然數?(3)可以組成多少個大于3000,小于5421且各位數字不允許重復的四位數?升華發展一、排數字問題分析:1.如圖,個位可填1,3,5,故有三種情況,當個為數字確定后,百位可填的數字為除0和個位已填數字外都可以,有4種情況,十位除已填的兩個數字外都可以,有4中情況,故共有: 2.比1000小的自然數有三類:三位數,有 個;兩位數,有 個;個位數,有6個,故共有:3.可分三類:千位數字為3的;千位數字為4的;千位數字為5的,共有:1、將數字1,2,3,4,填入標號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一個數字,則每個格子的標號與所填的數字均不同的填法有_____種引申:1號方格里可填2,3,4三個數字,有3種填法。1號方格填好后,再填與1號方格內數字相同的號的方格,又有3種填法,其余兩個方格只有1種填法。 所以共有3*3*1=9種不同的方法。 例2、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種?二、染色問題:解: 按地圖A、B、C、D四個區域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 種, 第二步, m2 = 2 種, 第三步, m3 = 1 種, 第四步, m4 = 1 種,所以根據乘法原理, 得到不同的涂色方案種數共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 種。 2、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種? 若用2色、4色、5色等,結果又怎樣呢? 答:它們的涂色方案種數分別是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180種等。思考:3.如圖,用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區域涂色, 規定一個區域 只涂一種顏色, 相鄰區域必須涂不同的顏色, 不同的涂色方案有 種。ABCD分析:如圖,A、B、C三個區域兩兩相鄰, A與D不相鄰,因此A、B、C三個區域的顏色兩兩不同,A、D兩個區域可以同色,也可以不同色,但D與B、C不同色。由此可見我們需根據A與D同色與不同色分成兩大類。解:先分成兩類:第一類,D與A不同色,可分成四步完成?!〉谝徊酵緼有5種方法,第二步涂B有4種方法;第三步涂C 有3種方法;第四步涂D有2種方法。根據分步計數原理,    共有5×4×3×2=120種方法?!       「鶕诸愑嫈翟?,共有120+60=180種方法?!  〉诙?,A、D同色,分三步完成,第一步涂A和D有5種方法,第二步涂B有4種方法;第三步涂C有3種方法。根據分步計數原理,共有5×4×3=60種方法。4、某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為6個部分(如右圖)現要栽種4種不同顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,不同的栽種方法有______種.(以數字作答) (1)②與⑤同色,則③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有   N1=4×3×2×2×1=48種;所以,共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120種. (2)③與⑤同色,則②④或⑥④同色,所以共有       N2=4×3×2×2×1=48種;(3)②與④且③與⑥同色,則共N3=4×3×2×1=24種 解法一:從題意來看6部分種4種顏色的花,又從圖形看   知必有2組同顏色的花,從同顏色的花入手分類求三、子集問題規律:n元集合 的不同子集有個 。例3:集合A={a,b,c,d,e},它的子集個數為 ,真子集個數為 ,非空子集個數為 ,非空真子集個數為 。四、綜合問題: 例4 若直線方程ax+by=0中的a,b可以從0,1,2,3,4這五個數字中任取兩個不同的數字,則方程所表示的不同的直線共有多少條?2、75600有多少個正約數?解:由于 75600=24×33×52×7 75600的每個約數都可以寫成的形式,其中    ,   ,   ,  于是,要確定75600的一個約數,可分四步完成,即i,j,k,l分別在各自的范圍內任取一個值,這樣i有5種取法,j有4種取法,k有3種取法,l有2種取法,根據分步計數原理得約數的個數為5×4×3×2=120個. 解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以, 第一類, m1 = 1×2 = 2 條 第二類, m2 = 1×2 = 2 條 第三類, m3 = 1×2 = 2 條 所以, 根據加法原理, 從頂點A到頂點C1最近路線共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 條。3.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條? 4.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法?甲地乙地丙地丁地 解:從總體上看,由甲到丙有兩類不同的走法, 第一類, 由甲經乙去丙,又需分兩步, 所以 m1 = 2×3 = 6 種不同的走法; 第二類, 由甲經丁去丙,也需分兩步, 所以 m2 = 4×2 = 8 種不同的走法; 所以從甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 種不同的走法。作業:P4 1--9再見!
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計數 原理 乘法 加法 分類
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