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廣義變分原理及其應用.ppt

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1.廣義變分原理及其應用1.1 虛力原理與余能原理1.2 泛函的變換格式1.3 含可選參數的廣義變分原理1.4 基于Reissner原理的混合元1.5 放松約束的變分原理及雜交元2000.31哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作1.1 虛力原理與余能原理1.1.1 虛位移原理和勢能原理(復習)1) 虛位移原理的虛功方程——矩陣表達δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV體積力虛功表面力虛功虛變形功δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SσFsiδuidS=δWi=∫VσijδεijdV虛功方程——張量表達2000.32哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作2) 勢能原理的數學表達Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min總勢能應變能外力勢能1.1.2 虛力原理1)虛力原理的表述 給定位移狀態協調的充分必要條件為:對一切自平衡的虛應力,恒有如下虛功方程成立(矩陣)∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS虛反力功表面給定位移虛余變形功2000.33哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作虛功方程——張量表達∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS2) 必要性證明εij=1/2(ui ,j+uj ,i)=D-1ijklσklV:δσij ,j =0 Sσ :δσijnj=0 已知條件 :[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ] V:δ[σ]=[0] Sσ:[L]δ[σ]=[0]需證明的是:∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS或張量表達形式已知條件:2000.34哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作∫V( [A][u])Tδ[σ]dV=∫S([L]δ[σ])T [u ] dS-∫V([A]δ[σ])T [u ] dV1/2∫V(ui ,j+uj ,i) δσijdV=∫SδσijnjuidS-∫V δσij ,juidV[證明]:利用格林公式或張量形式格林公式考慮到虛應力的已知自平衡條件,立即可得∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS必要性證畢。2000.35哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作2) 充分性證明V:δσij ,j =0 Sσ :δσijnj=0 已知條件 :[ε]= [D]-1[σ] 需證明的是:應變εij是協調的?;驈埩勘磉_形式 εij=D-1ijklσkl∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dSV:[A]δ[σ]=[0] Sσ:[L]δ[σ]=[0][證明] :因為V:[A]δ[σ]=[0],所以對任意 [λ] ∫V ([A]δ[σ])T [λ]dV=[0]利用格林公式和已知條件可得2000.36哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作設體內三個虛剪應力任意、獨立,另三個正應力滿足[A]δ[σ]=[0]。又因為[λ]完全任意,因此可設∫V( [D] -1[σ]-[A]T[λ ])Tδ[σ]dV+∫Su([L]δ[σ])T ( [λ]-[u ]0)dS=0(a)在此條件下,式(a)由于虛應力的任意、獨立性可得V: [D] -1[σ]-[A]T[λ ]=[0] Su: [λ]-[u ]0=[0]充分性證畢。2000.37哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作1.1.3 余能原理和由虛位移原理導出勢能原理一樣,由虛力原理∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS可得δ(1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS)=0記VC如下所示,并稱為變形體的總余能VC=1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS則由δVC=0可得 在一切可能的靜力平衡狀態中,某應力狀態為真實應力的充要條件是,變形體的總余能取駐值。對線彈性體,此駐值為最小值。余能原理2000.38哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作余能原理等價于協調,表達為VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS = min利用格林公式,立即可證明Ve+ VC=01.2 泛函的變換格式(龍馭球提出)簡單來說,勢能原理等價平衡,表達為Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min1.2.1 一些預備知識1) 變量的分類2000.39哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 除泛函變量外,泛函中的其他變量稱為泛函的增廣變量。 在余能泛函VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS中σij 是泛函變量,其他是增廣變量。 泛函中所顯含的自變函數稱為泛函的泛函變量。 在勢能泛函Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS中ui 是泛函變量,其他是增廣變量。2000.310哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 泛函中泛函變量事先所需滿足的條件,稱為泛函的強制條件。 在余能泛函中σij 所需滿足的平衡條件(內部和邊界)即為強制條件。VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS2) 泛函所滿足的條件 在勢能泛函中ui 所滿足的協調條件即為強制條件。Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS2000.311哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 在余能泛函中σij 所對應的應變應滿足的協調條件為自然條件。 由返函的變分等于零所導出的條件,稱為泛函的自然條件。 在勢能泛函中ui 所滿足的平衡條件即為自然條件。 在泛函中,泛函變量與增廣變量間,或增廣變量之間所應滿足的條件稱為增廣條件。 在勢能泛函中幾何方程和物理方程即為增廣條件。3) 泛函間關系的分類2000.312哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 如果廣義等價的兩泛函,其變量和條件均對應相同,稱此兩泛函為等價的。 兩泛函所包含的全部變量、全部條件均相同,但是變量的區分不同,或變量的條件不同等,稱此兩泛函為廣義等價。 如果兩泛函等價,且只相差一比例系數,則稱這兩泛函互等。1.2.2 泛函的三種變換格式1) 泛函的放松格式——拉氏乘子法(傳統) 基本思路是,將強制條件用拉氏乘子引入泛函,從泛函變分判斷拉氏乘子含義,并得到放松了強制條件的多自變量泛函的變換格式。2000.313哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作2) 增廣格式——高階拉氏乘子法(錢偉長) 教材上介紹了從余能原理得到海林格-賴斯納二變量廣義余能原理的基本步驟,請大家按思路自行推證。只有自己動手,才能真真掌握。 基本思路是,對無條件泛函,將增廣條件構造一正定二次型,再乘一待定乘子,從而得到新的增廣變量變為泛函變量的無條件泛函。 請大家自行證明教材給出的,錢偉長教授建立的泛函是三變量的無條件泛函。3) 等價格式——龍馭球格式 基本思路是,用自然條件構造正定二。省略部分。 虛力原理也是虛功原理條件改變的結果,位移給定虛應力任意,無限分割時等價于協調條件。它也是充要條件。 由虛位移原理可導得勢能原理,由虛力原理可導得余能原理(當然它們也可由定義來推導)。它們是一對對偶的原理。 從勢能原理出發,用放松格式可得到無條件的勢能原理,用換元乘子法可得到二變量廣義余能原理、三變量的廣義勢能原理。 從余能原理出發,用放松格式可得無條件的廣義余能原理,用換元乘子法可得到三變量的廣義勢能原理。2000.318哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 從二變量的廣義余能原理和三變量的廣義勢能原理出發,用格林公式可分別得到二變量的廣義勢能原理和三變量廣義余能原理。 從二變量的廣義余能原理或二變量的廣義勢能原理出發,用等價格式可得到二變量含可選參數的廣義變分原理,當滿足特定退化條件時,將退化為無條件的勢能原理。參數為零時恢復成二變量廣義變分原理。2000.319哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 從三量的廣義余能原理或三變量的廣義勢能原理出發,用等價格式可得到三變量含可選參數的廣義變分原理,當滿足特定退化條件時,將退化為二變量的含可選參數廣義變分原理。參數為零時恢復成三變量廣義變分原理。 上述原理間的關系,可用教材上P. 196 圖6-2來表示。 如果真的掌握了《有限元Ⅰ》所學習的內容,象從勢能原理出發通過構造位移場那樣,合適地建立變分原理對應的場變量,即可用變分原理得到對應的有限元列式。下面簡單介紹基于賴斯納原理的混合元分析。2000.320哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作1.4 基于Reissner原理的混合元1.4.1 原理的使用選擇 前面介紹了從余能原理獲得了二變量廣義余能原理如下: 用于單元時,考慮結點力作用后改為2000.321哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 由此原理出發,如《有限元Ⅰ》所述,進行有限元分析時要求構造的應力場跨單元協調、在單元應力邊界上要求平衡,構造這樣的變量場是困難的。為此,用格林公式作變換,得到二變量廣義勢能泛函如下: 用于單元時,考慮結點力作用可同樣修改。當用此泛函作有限元分析時,要求位移場跨單元(C0級)協調,由《有限元Ⅰ》可知,這是不難做到的。因此,一般用它分析。2000.322哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作1.4.2 單元列式及說明 用上述原理作單元列式時,要建立兩類變量場:位移場(u)和應力場(σ),位移場只要滿足跨單元協調,并不要像位移元組裝后需作約束條件處理,使滿足位移邊界條件。 設 (u)=(N)(δ)e (σ)=(β)(P)e代入賴斯納原理并經數學推導后,可得教材上(6.4-7)所示混合元性質方程。2000.323哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作式(6.4-7)中的一些矩陣分別為 有了(6.4-7)混合元性質方程,作整體組裝即可獲得整體性質方程。但必須注意,整體性質矩陣是奇異的,求解時必須作必要的處理。只和(σ)有關和(σ)、(u)有關只和 (u)有關只和(σ)有關 混合元分析可直接求得應力,因此一般來說應力的精度比位移元要高。2000.324哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 混合元依據的是駐值原理,因此結果沒有一致的趨向性。 賴斯納原理包含兩類場變量,這就存在必須解決它們之間合理地配合的問題。 當應力參數矩陣(P)相鄰單元無關時,可對單元性質方程進行縮聚處理,最終可得到單元“剛度方程”,只要修改“剛度矩陣”和“等效結點荷載矩陣”,就可用位移元的計算程序來解算。 對平面和空間問題來說,位移元建立位移場并無多大困難,混合元對板殼計算更有用。2000.325哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作1.4.3 薄板彎曲的混合元 薄板彎曲理論中的廣義勢能泛函為式中有關符號的說明見教材P.200。從κ的表達式可見,用它進行混合元分析需要 w 具有C1級連續。這將與位移元一樣產生困難。 為此,需對上述泛函進行改造。2000.326哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 Herrmann提出用分部積分和奧-高公式對上述泛函進行改造,獲得如下的Herrmann泛函(教材上有這種純數學的具體推導) 有了廣義變分泛函,和平面問題一樣,設出撓度場 w 和彎矩場 M 后,代入泛函即可建立薄板彎曲的混合元性質方程。 教材上結合常彎矩三角形、線性彎矩三角形混合元介紹了一些具體列式,可供大家應用時參考。2000.327哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作1.5 放松約束的變分原理及雜交元1.5.1 修正余能原理 前面已得到余能原理,作有限元分析時VC=Σ[1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS]e= min該泛函的強制條件為 Ve: σij ,j+Fbi=0 Sσe上: FSi-σijnj =0 SBL上: (σijnj)+-(σijnj) -=0相鄰界面前面已經提到,要事先滿足上述條件是困難的。為此,可利用放松格式來得到放松了邊界處約束條件的修正余能原理(具體推導見教材)。2000.328哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作V*C=Σ[1/2∫VσijεijdV+∫SσFsiuidS -∫SσijnjuidS]e= min該泛函的強制條件改為了 Ve: σij ,j+Fbi=0 Sue上: ui-ui0=0 有興趣的同學,可自學教材上修正勢能原理的推證.但教材中已經指出,基于修正勢能原理的雜交位移元應用較少。 必須注意的是,修正余能原理是多變量泛函,但是和賴斯納原理不同,它在域內是單變量的,在邊界上才是多變量的。2000.329哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 修正余能原理在域內是有強制條件的,放松的只是邊界上的約束條件。1.5.2 基于修正余能原理的雜交應力元 設 Ve: σ0ij ,j+Fbi=0 是單元內的一個特解,又設 Ve: σij=HikPkj+ σ0ij ,應力參數Pkj和其他單元無關。 再設 Se: ui=Niδi , 將應力和位移代入修正余能原理,經單元列式推導(具體推導見教材),考慮到應力參數Pkj和其他單元無關,最后可得象位移元一樣的“剛度”方程 kijδj=FEi2000.330哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作 因此只要修改單元剛度、等效荷載的子程序,即可用位移元程序計算雜交應力元分析問題。 當結點受有荷載作用時,綜合等效結點荷載中尚需組裝直接結點荷載。 雜交應力元構造場變量時,也必須注意適當的匹配。 象位移元分析一樣,對已知位移邊界條件,需要進行邊界條件處理。 對薄板彎曲問題,可仿此思路建立修正的變分原理,從而建立板彎曲雜交元。有興趣的可自行參閱有關文獻。2000.331哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作再次強調,本章內容理論性很強,必須親自動手,才能真真掌握!2000.332哈爾濱建筑大學 王煥定教授制作
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