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東南大學自動控制原理課件 第二章 狀態方程的解.ppt

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第二章 狀態方程的解2.1 線性定常系統狀態方程的零輸入響應上式稱為齊次狀態方程,其解稱為齊次狀態方程的解(自由解,零輸入響應)。2.2 矩 陣 指 數 函 數一、定義 1、微分公式二、矩陣指數函數的基本性質 2、 3、乘法公式之一 4、乘法公式之二 5、 6、逆矩陣 7、對角矩陣的矩陣指數函數 8、相似變換 9、特征值 設矩陣 的特征值 兩兩互異,則矩陣指數函數 的特征值為 (即 ),且 與 的特征向量矩陣相同。 10、Laplace變換即例 方法一、根據定義求解 方法二、利用拉普拉斯變換方法求解 方法三、利用相似變換求解 2.3 狀 態 轉 移 矩 陣一、基本概念 狀態轉移矩陣是滿足如下矩陣方程和初值條件的唯一解:二、狀態轉移矩陣是齊次狀態方程 對于定常系統,狀態轉移矩陣一般用符號 或 來表示。 在初始狀態為下列 n 個基向量 時的一個基本解矩陣。三、狀態轉移矩陣的性質 1、 2、 證明: 因此有 3、 4、狀態轉移矩陣的可交換性 證明: 證明: 5、 證明: 6、四、 矩陣指數函數和狀態轉移矩陣是從兩個不同的角度所提出來的概念。矩陣指數函數是從數學的角度提出來的一個數學函數的名稱,而狀態轉移矩陣是一個滿足矩陣微分方程和初值條件的解,它表征了初始狀態對某個時刻的狀態轉移關系,對于線性定常系統,其狀態轉移矩陣的數學表達式即是矩陣指數函數。例 已知系統的齊次狀態方程為 初始狀態為 解:1、先求預解矩陣 試求系統的自由響應 。 2、計算 3、計算例 已知系統的狀態轉移矩陣為 解: 求系統矩陣 。解:例 已知二階系統的初態和自由運動的兩組值如下,求系統的狀態轉移矩陣和系統矩陣 。 例 下列矩陣是否滿足狀態轉移矩陣的條件,如果滿足,試求與之對應的系統矩陣A。解:狀態轉移矩陣是滿足如下的矩陣方程和初始條件的解驗證題中矩陣是否滿足上述條件2.4 線性定常非齊次狀態方程的解一、直接法 二、拉氏變換法例 已知系統狀態方程和初態如下 解:一、直接法二、拉氏變換法2.5 離散系統的狀態空間模型一、離散時間系統的狀態方程和輸出方程 和連續時間系統相類似,如果離散時間系統中所有狀態變量在下一個采樣時刻(k+1)T 的取值能用采樣時刻 kT 的各狀態變量表示,則該離散系統的運動就被完全描述了,即有如下關系式中      ?。翰蓸又芷凇        。旱凇€狀態變量在第  個采樣時刻的值        ?。旱凇€狀態變量在第 個采樣時刻的值 對于線性定常離散時間系統的狀態方程是如下矩陣差分方程:?。╩維輸出,r維輸入)二、由差分方程列寫系統的狀態空間表達式 三、化脈沖傳遞函數為離散狀態方程  對于用脈沖傳遞函數   表示的離散系統可以化成不同的離散狀態方程:1、根據   寫出輸出量與輸入量之間的差分方程,再化成狀態方程;2、直接分解;3、并聯分解。四、連續時間系統狀態空間表達式的離散化例:試寫出下列連續時間系統采樣周期為T時的離散化方程。解:首先求出連續時間系統的狀態轉移矩陣2.6 離散時間系統狀態方程的解一、遞推法 1、計算公式 2、幾點說明 1)離散狀態方程的求解公式和連續狀態方程的求解公式在形式上是類似的,它也由兩部分響應所構成,即由零輸入響應和零狀態響應所構成,所不同的是離散狀態方程的解是狀態空間的一條離散的軌跡; 2)在零狀態響應中,第k個時刻的狀態只取決于此采樣時刻以前的輸入采樣值,而與該時刻的輸入采樣值無關; 3) 稱為線性定常離散系統的狀態轉移矩陣,記為 ; 4)利用狀態轉移矩陣 ,可將求解公式改寫為 5)用遞推法求解所得到的不是一個封閉的解析形式,而是一個解序列,便于計算機計算。二、Z變換法例 已知某離散時間系統的狀態方程是解 一、遞推法 二、Z變換法
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