數學建模初等模型.ppt

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數學建模 (Mathematical Modeling) 黑龍江科技學院理學院工程數學教研室第二章 初等模型 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院線性代數模型初等模型第二章極限、最值、積分問題的初等模型經濟問題中的初等模型重點:各種簡單的初等模型難點:簡單初等模型的建立和求解生活中的問題 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院建模舉例2.1 生活中的問題2.1.1 椅子能在不平的地面上放穩嗎問題分析模型假設通常 ~ 三只腳著地放穩 ~ 四只腳著地 四條腿一樣長,椅腳與地面點接觸,四腳連線呈正方形; 地面高度連續變化,可視為數學上的連續曲面; 地面相對平坦,使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性用?(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是?的函數四個距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和 ~ f(?)B,D 兩腳與地面距離之和 ~ g(?)兩個距離xBADCOD′C ′B ′A ′?椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(?) , g(?)是連續函數對任意?, f(?), g(?)至少一個為0數學問題已知: f(?) , g(?)是連續函數 ; 對任意?, f(?) ? g(?)=0 ; 且 g(0)=0, f(0) > 0. 證明:存在?0,使f(?0) = g(?0) = 0.模型構成地面為連續曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900,對角線AC和BD互換。由g(0)=0, f(0) > 0 ,知f(?/2)=0 , g(?/2)>0.令h(?)= f(?)–g(?), 則h(0)>0和h(?/2)<0.由 f, g的連續性知 h為連續函數, 據連續函數的基本性質, 必存在?0 , 使h(?0)=0, 即f(?0) = g(?0) .因為f(?) ? g(?)=0, 所以f(?0) = g(?0) = 0.評注和思考建模的關鍵 ~假設條件的本質與非本質 考察四腳呈長方形的椅子?和 f(?), g(?)的確定 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院 2.1.2 分蛋糕問題妹妹過生日,媽媽做了一塊邊界形狀任意的蛋糕,哥哥也想吃,妹妹指著蛋糕上的一點對哥哥說,你能過這一點切一刀,使得切下的兩塊蛋糕面積相等,就把其中的一塊送給你。哥哥利用高等數學知識解決了這個問題,你知道他用的是什么辦法嗎?問題歸結為如下一道證明題: 已知平面上一條沒有交叉點的封閉曲線,P是曲線所圍圖形上任一點,求證:一定存在一條過P的直線,將這圖形的面積二等分。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院只證明了直線的存在性,你能找到它么?P?PS1S2l若S1≠ S2 不妨設S1>S2(此時l與x軸正向的夾角記為 ) 以點P為旋轉中心,將l按逆時針方向旋轉,面積S1,S2就連續依賴于角 的變化,記為令:而 在 上連續,且由零點定理得證。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院 2.1.3出租車收費問題某城市出租汽車收費情況如下:起價10元(4km以內),行程不足15km,大于等于4km部分,每公里車費1.6元;行程大于等于15km部分,每公里車費2.4元。計程器每0.5km記一次價。 例如,當行駛路程x(km)滿足12≤x<12.5時,按12.5km計價;當12.5 ≤x<13時,按13km計價; 例如,等候時間t(min)滿足 2.5≤t<5時,按2.5min計價收費0.8元;當5≤t0為比例常數)。1.建立細菌繁殖的數學模型。2.假設一種細菌的個數按指數方式增長,下表是收集到的近似數據。天數細菌個數5936102190 由于細菌的繁殖時連續變化的,在很短的時間內數量變化得很小,繁殖速度可近似看做不變。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院解:建立數學模型將時間間隔t分成n等分,在第一段時間 內,細菌繁殖的數量為 ,在第一段時間末細菌的數量為 ,同樣,第二段時間末細菌的數量為 ;以此類推,最后一段時間末細菌的數量為 ,經過時間t后,細菌的總數是設細菌的總數為y。省略部分。一個基因,形成自己的基因時,基因對也稱為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個基 因A和a控制的,(A、a為表示兩類基因的符號)那么就有三種基因對,記為AA,Aa,aa。 1000aa010Aa0001AA后代基因型aa-aaAa-aaAa-AaAA-aaAA-AaAA-AA父體——母體的基因型雙親隨機結合的較一般模型相對比較復雜,這些我們僅研究一個較簡單的特例 。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院例4.8 農場的植物園中某種植物的基因型 為AA,Aa和aa。農場計劃采用 AA型的植物與每種基因型植物相結合的方案培育植物后代。那么經過若干年后,這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何?(a)假設:令n=0,1,2,…。(i)設an,bn和cn分別表示第n代植物中,基因型 為AA,Aa和aa的植物占植物總數的百分比 。令x (n)為第n代植物的基因型分布:當n=0時表示植物基因型的初始分布(即培育開始時的分布)例3 農場的植物園中某種植物的基因型 為AA,Aa和aa。農場計劃采用 AA型的植物與每種基因型植物相結合的方案培育植物后代。那么經過若干年后, 這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何? 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院(b)建模根據假設(ii),先考慮第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型與AA型結合。后代全部是AA型;第n-1代的Aa型與AA型結合,后代是AA型的可能性為 1/2,而 第n-1代的aa型與AA型結合,后代不可能 是AA型。因此當n=1,2…時即類似可推出cn=0 顯然有(ii)第n代的分布與 第n-1代的分布之間的關系是通過表確定的。(2)(3)(4) 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院(1)將(2)、(3)、(4)式相加,得根據假設(I),可遞推得出:對于(2)式.(3)式和(4)式,我們采用矩陣形式簡記為其中(注:這里M為轉移矩陣的位置) (5) 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院由(5)式遞推,得(6)(6)式給出第n代基因型的分布與初始分布的關系。為了計算出Mn,我們將M對角化,即求出可逆矩 陣P和對角庫D,使 M=PDP-1因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2,…其中這里 , , 是矩 陣M的三個特征值。對于 (5)式中的M,易求得它的特征值和特征向量: =1, =1/2, =0 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院因此所以 通過計算,P-1=P,因此有 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院即 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院所以有當時,,所以從(7)式得到即在極限的情況下,培育的植物都 是AA型。若在上述問題中,不選用基 因AA型的植物與每一植物結合,而是將具有相同基因型植物相結合,那么后代具有三種基因型的概率如 表所示。11/40aa01/20Aa01/41AA后代基因型aa-aaAa-AaAA-AA父體——母體的基因型 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院(7)并且,其中M的特征值為通過計算,可以解出與 、 相對應的兩個線性無關的特征向量e1和e2,及與相對應的特征內 量e3:因此 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院解得:當 時,,所以因此,如果用基因 型相同的植物培育 后代,在極限情況 下,后代僅具有基 因AA和aa。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院 2.7 建模舉例(人員疏散問題) 考慮學校的一座教學樓,其中一樓有一排四間相同的教室,學生們可以沿教室外的走廊一直走到盡頭的出口。試建立數學模型來分析人員疏散所用的時間。想一想疏散撤離所用的時間依賴于哪些因素?DL3L4L2L1n4+1n1+1n2+1n3+1因此我們假設 (1) 疏散時人們排成單行有序撤離;(2)撤離人員間距均勻且行進速度保持 不變; (3)忽略隊列中人的身體厚度;(4)隊列的密集程度與隊列行進的速度 相互獨立,互不影響。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院 建立模型 根據假設,疏散撤離的隊伍中人與人之間的距離是常數,記為d(米);隊列行進的速度也是常數,記為v(米/秒)。設第i個教室中的人數為ni+1,第i個教室的門口到前一個教室的門口的距離為Li(米),教室門的寬度為D(米)。疏散時教室內第一個人到達教室門口所用的時間忽略不計。 考慮第一個教室人員的疏散:這個教室撤空的時間為n1d/v(秒)是指最后一個人離開教室,到達教室門口所用的時間 而最后一個人到達出口所用的時間是所用的時間是類似地,第二個教室撤空的時間為n2d/v(秒),而最后一個人到達出口所用的時間是所用的時間是: 如果兩支疏散隊伍重疊,即第二個教室的第一個撤離者到達第一個教室門口時,第一個教室的人還沒有疏散完畢,就會造成混亂! 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院 兩個教室的人員完全撤出教學(單隊)樓所用的時間的數學模型為: 類似可得出四個教室的人員完全撤出教學(單隊)樓所用的時間的數學模型(略) 模型分析及改進: 疏散時間主要由兩部分構成:隊伍的排尾走一個隊伍的長度達到排頭的位置所用的時間。隊伍的排頭從教室門口走出教學樓的時間如果隊列十分緊密使得d=0,那么疏散時間就與教室內的人數無關了!理學院 黑龍江科技學院 數 學 建 模 設人的身體厚度是相同的,記為W,則模型可修改為: 由此得到,隊伍應以最密集的隊形,以人所可能的最大速度進行疏散。 實際是這樣嗎? 隊列最大的行進速度是隊列密集程度的函數,記為v(d),則模型可修正為:理學院 黑龍江科技學院 數 學 建 模 本章小結本章介紹了一些與實際問題相關的簡單的數學模型、旨在使大家對數學建模問題有一個初步的了解,通過建模舉例對數學建模的基本思想和步驟有一個初步的了解。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院
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