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數學歸納法及其應用舉例.ppt

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第二章 數學歸納法及其應用舉例數學歸納法及其應用舉例教學目標重點難點教學內容隨堂練習課堂總結課后作業教學目標(1)掌握數學歸納法的思想(2)數學歸納法學習是數列知識的深入與拓展,也是一種重要的數學方法可以使學生學會一種研究數學的科學方法重點難點重點:歸納法意義的認識和數學 歸納法產生過程的分析難點:數學歸納法中遞推思想的 理解演繹推理推理方法歸納推理(一般到特殊)(特殊到一般)完全歸納不完全歸納三段論教學內容(1) 不完全歸納法引例 明朝劉元卿編的《應諧錄》中有一個笑話:財主的兒子學寫字.這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結論,用的就是“歸納法”,不過,這個歸納推出的結論顯然是錯誤的. 有一位師傅想考考他的兩個徒弟,看誰更聰明一些.他給每人筐花生去剝皮,看看每一?;ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?,看誰先給出答案.大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了;二徒弟只揀了幾個飽滿的,幾個干癟的,幾個熟好的,幾個沒熟的,幾個三仁的,幾個一仁、兩仁的,總共不過一把花生.顯然,二徒弟比大徒弟聰明. (2) 完全歸納法對比引例 教學內容例題引入問題情境一:問題 1:大球中有5個小球,如何證明它們都是綠色的? 問題 2: 如果{an}是一個等差數列,怎樣得到 an=a1+(n-1)d ?完全歸納法 不完全歸納法 模 擬 演 示在等差數列{an}中,已知首項為a1,公差為d,那么a1=a1=a1+0?d, a2 =a1+d =a1+1?d, a3 =a2+d =a1+2?d, a4 =a3+d =a1+3?d, …… an=?歸納an=a1+(n?1)?d數學家費馬運用歸納法得出費馬猜想的事例: 費馬(1601--1665)法國偉大的業余數學家。 歐拉(1707~1783),瑞士數學家及自然科學家。 問題情境二:不完全歸納法 歸納法:由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法. 歸納法:(1)完全歸納法:考察全體對象,得到一般結論的推理方法(2)不完全歸納法:考察部分對象,得到一般結論的推理方法歸納法分為 完全歸納法 和 不完全歸納法優點:考查全面,結論正確;缺點 :工作量大,有些對象無法全面考查.優點:考查對象少,得出結論快;缺點 :觀察片面化,結論不一定正確.如何解決不完全歸納法存在的問題呢?  多米諾骨牌課件演示 如何保證骨牌一一倒下?需要幾個步驟才能做到?(1)處理第一個問題;(2)驗證前一問題與后一問題有遞推關系.(相當于能推倒第一塊骨牌)(相當于第K塊骨牌能推倒第K+1塊骨牌)問題情境三:數學歸納法是一種證明與自然數有關的數學命題的重要方法。其格式主要有兩個步驟、一個結論: (1)驗證當n取第一個值n0(如 n0=1或2等)時結論正確; 驗證初始條件(2)假設n=k時結論正確,在假設之下,證明n=k+1時結論也正確; 假設推理(3)由(1)、(2)得出結論. 點題找準起點奠基要穩用上假設遞推才真寫明結論才算完整一、數學歸納法定義:例1、是否存在常數a、b,使得等式: 對一切正整數n都成立,并證明你的結論.解:令n=1,2,并整理得以下用數學歸納法證明:(1)當n=1時,由上面解法知結論正確.(1)數學歸納法證明等式問題:二、數學歸納法應用舉例:(2)假設當n=k時結論正確,即:則當n=k+1時,故當n=k+1時,結論也正確.根據(1)、(2)知,對一切正整數n,結論正確.例2、已知正數數列{an}中,前n項和為sn,且 用數學歸納法證明:證:(1)當n=1時, =1,結論成立.(2)假設當n=k時,結論成立,即則當n=k+1時,故當n=k+1時,結論也成立.根據(1)、(2)知,對一切正整數n,結論都成立.(2)數學歸納法證明整除問題:例1、用數學歸納法證明: 當n為正偶數時,xn-yn能被x+y整除.證:(1)當n=2時,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 題成立.(2)假設當n=2k時,命題成立,即x2k-y2k能被x+y整除.則當n=2k+2時,有 都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即當n=2k+2時命題成立.由(1)、(2)知原命題對一切正偶數均成立.例、平面內有n (n?2)條直線,任何兩條都不平行,任何三條不過同一點,問交點的個數 為多少?并證明.當n=k+1時:第k+1條直線分別與前k條直線各交于一點,共增加k個點,由1)、2)可知,對一切n∈N?原命題均成立。證明:1)n=2時:兩條直線交點個數為1, 而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命題成立。 ∴k+1條直線交點個數=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1), 即當n=k+1時命題仍成立。2)假設n=k(k∈N?,k≥2)時,k條直線交點個數為 f(k)= k(k-1),(3)數學歸納法證明幾何問題:例1.用數學歸納法證明:如果{an}是一個等差數列, 則an=a1+(n-1)d對于一切n∈N*都成立。 例題講解證明: (1)當n=1時,左邊=a1,右邊=a1 +(1-1)·d=a1, ∴ 當n=1時,等式成立(2)假設當n=k時等式成立, 即 ak=a1+(k-1)d 則當n=k+1時ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+[(k+1)-1]d∴當n=k+1時,等式也成立。由(1)和(2)知,等式對于任何n∈N*都成立。湊假設結論從n=k到n=k+1有什么變化證明: (1) 當n=1時左=1,右=12=1∴n=1時,等式成立 (2) 假設n=k時,等式成立,即1+3+5+…+(2k?1)=k2 那么,當n=k+1時左=1+3+5+…+(2k?1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時等式成立由(1)、(2)可知等式對任何n?N*都成立遞推基礎遞推依據例2.用數學歸納法證明1+3+5+…+(2n?1)=n2 練習用數學歸納法證明:(1) (2)1+2+22+…+2n-1=2n-1(3)首項是a1,公比是q的等比數列的通項公式是an=a1qn-1感悟與收獲 (1) 本節的中心內容是歸納法和數學歸納法; (2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,分為完全歸 納法和不完全歸納法二種; (3) 由于不完全歸納法中推測所得結論可能不正確,因而必 須作出證明,證明可用數學歸納法進行; (4) 數學歸納法作為一種證明方法,它的基本思路是遞推 思想,它的操作步驟必須是二步,其中第二步的證明 必須要利用假設的結論。 今 日 作 業課本P27習題2.1第4題,第5題。謝謝觀賞再見
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歸納法 舉例 及其 數學 應用
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