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《數學》(八年級上冊)知識點總結.doc

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?《數學》(八年級上冊)知識點總結第一章 實數一、實數的概念及分類 1、實數的分類 正有理數 有理數 零 有限小數和無限循環小數實數 負有理數 正無理數 無理數 無限不循環小數 負無理數2、無理數:無限不循環小數叫做無理數。在理解無理數時,要抓住“無限不循環”這一時之,歸納起來有四類:(1)開方開不盡的數,如等;(2)有特定意義的數,如圓周率π,或化簡后含有π的數,如+8等;(3)有特定結構的數,如0.1010010001…等;(4)某些三角函數值,如sin60o等二、平方根、算數平方根和立方根 1、算術平方根:一般地,如果一個正數x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地,0的算術平方根是0。表示方法:記作“”,讀作根號a。性質:正數和零的算術平方根都只有一個,零的算術平方根是零。2、平方根:一般地,如果一個數x的平方等于a,即x2=a,那么這個數x就叫做a的平方根(或二次方根)。表示方法:正數a的平方根記做“”,讀作“正、負根號a”。性質:一個正數有兩個平方根,它們互為相反數;零的平方根是零;負數沒有平方根。開平方:求一個數a的平方根的運算,叫做開平方。 注意:的雙重非負性: 03、立方根一般地,如果一個數x的立方等于a,即x3=a那么這個數x就叫做a 的立方根(或三次方根)。表示方法:記作性質:一個正數有一個正的立方根;一個負數有一個負的立方根;零的立方根是零。注意:,這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。 三、二次根式計算1、含有二次根號“”;被開方數a必須是非負數。2、性質:(1)(2)(3) ()(4) ()3、化簡二次根式:把二次根式被開方數的完全平方因式移到根號外。例:。(字母因式由根號內移到根號外時,必須考慮字母因式隱含的符號)4、最簡二次根式:化簡后的二次根式需同時符合以下兩個條件:⑴被開方數中各因式的指數都為1;⑵被開方數不含分母。這樣的二次根式叫做最簡二次根式。將一個二次根式化成最簡二次根式,有以下兩種情況:⑴如果被開方數是分式或分數(包括小數),先利用商的自述平方根的性質把它寫成分式的形式,然后再分母有理化;⑵如果被開方數是整式或整數,先將它分解因式或分解質因數,然后把能開方的因式或因數開出來,從而將式子化簡?;胃綖樽詈喍胃降牟襟E:⑴把被開方數分解質因數,化為積的形式;⑵把根號內能開方的的因數移到根號外;⑶化去根號內的分母,若被開方數的因數中有帶分數要化成假分數,小數化成分數。5、同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數相同,那么這幾個二次根式是同類二次根式。例:、、。(判斷是不是同類二次根式:首先,要看它們是不是最簡二次根式;其次,看這些最簡二次根式的被開方數是否相同)6、二次根式的加法、減法:⑴化簡,化成最簡二次根式;⑵合并同類二次根(即將被開方數相同的二次根式的系數進行合并)7、二次根式的乘法、除法:⑴先完成根號內乘除,再化簡二次根式;⑵小數化分數,帶分數化假分數;⑶字母需考慮取值范圍(不要忽視隱含條件)。8、分母有理化:把分子和分母都乘以一個適當的代數式,使分母不含根號,這種計算叫做分母有理化。第二章 一元二次方程一、 定義:只含有一個未知數,且未知數最高次數是二次的整式方程。二、 一般式:三、 一元二次方程的解法:1、 開平方法:一般來說,形如、的一元二次方程可以用開平方法。(三種情況:有兩個不相等的實數根,等于0,沒有實數根)2、 因式分解法:提取公因式、公式法(平方差、完全平方公式)、十字相乘法、分組分解法。3、 配方法:⑴移常數項;⑵化二次項系數為1;⑶配方,在方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方;⑷用開平方法求解;⑸結論。4、 公式法:⑴先把方程化為一般形式;⑵寫出方程各項的系數a、b、c的值(要注意它們的符號);⑶計算;⑷當時,將a、b、c的值代入求根公式,求出方程的兩個根;⑸當<0時,方程沒有實數根,就不必解了。 (開平方法、因式分解法一般適用于特殊形式的方程,而配方法、公式法是使用最普遍的方法,適用任意方程,其中:公式法計算較繁瑣。)四、 一元二次議程根的判別式1、 定義:叫做一元二次方程的根的判別式,通常用符號“△”來表示,即△=。2、 一元二次方程的根的情況與△的關系:⑴△=方程有兩個不相等的實數根。⑵△=方程有兩個相等的實數根。⑶△=方程沒有實數根。3、 由方程的情況求字母系數的值或取值范圍⑴如果說方程有實數根,那么;⑵注意:因為是一元二次方程,不要遺漏隱含條件。五、 一元二次議程的應用1、 二次三項式的概念:形如(a、b、c都不為0)的多項式稱為二次三項式。2、 二次三項式的因式分解:⑴首先考慮能否提取公因式;⑵能否運用十字相乘法;⑶最后考慮用公式法。3、 列一元二次方程解應用題的一般步驟:⑴審題⑵設元⑶列方程⑷解方程⑸檢驗⑹寫答案4、 根據題意列方程時,必須同時滿足以下四個條件:⑴方程兩邊意義相同;⑵方程兩邊單位一致;⑶方程兩邊數值相等;⑷方程全面地反映了題中所有數量之間的關系。5、 列一元二次方程解題的類型:⑴幾何類問題(利用幾何定理、面積公式等作解題依據,列出一元兩次方程,解題);⑵增長(降低)率問題:如設基數為a,平均增長率為x,則第一次增長后為a(1+x),第二次增長后為a(1+x)2;⑶利潤(銷售)問題:常用等量關系有:利潤=售價-進價(成本)、總利潤=每件的利潤×總件數、利潤率=、售價=標價×打折數等;注意:解應用題時一定不要忘記檢驗所求的根是否符合實際問題的要求。第三章 一次函數一、函數:一般地,在某一變化過程中有兩個變量x與y,如果給定一個x值,相應地就確定了一個y值,那么我們稱y是x的函數,其中x是自變量,y是因變量。二、自變量取值范圍使函數有意義的自變量的取值的全體,叫做自變量的取值范圍。一般從整式(取全體實數),分式(分母不為0)、二次根式(被開方數為非負數)、實際意義幾方面考慮。 (1).用整式表示的函數,自變量的取值范圍是全體實數。 (2)用分式表示的函數,自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數。 (3)用奇次根式表示的函數,自變量的取值范圍是全體實數。 用偶次根式表示的函數,自變量的取值范圍是使被開方數為非負數的一 切實數。 (4)若解析式由上述幾種形式綜合而成,須先求出各部分的取值范圍,然后再求其公共范圍,即為自變量的取值范圍。(5)對于與實際問題有關系的,自變量的取值范圍應使實際問題有意義。三、函數。省略部分。O為中心,沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數)② 描點(有小到大的順序)③ 連線(從左到右光滑的曲線)⑵反比例函數的圖像是雙曲線,(為常數,)中自變量,函數值,所以雙曲線是不經過原點,斷開的兩個分支,延伸部分逐漸靠近坐標軸,但是永遠不與坐標軸相交。⑶反比例函數的圖像是是軸對稱圖形(對稱軸是或)。⑷反比例函數()中比例系數的幾何意義是:過雙曲線 ()上任意引軸軸的垂線,所得矩形面積為。反比例函數性質如下表:的取值圖像所在象限函數的增減性一、三象限在每個象限內,值隨的增大而減小二、四象限在每個象限內,值隨的增大而增大反比例函數解析式的確定:利用待定系數法(只需一對對應值或圖像上一個點的坐標即可求出)“反比例關系”與“反比例函數”:成反比例的關系式不一定是反比例函數,但是反比例函數中的兩個變量必成反比例關系。第四章 幾何證明一、幾何證明中常用的證明方法: 1、證明兩直線平行——利用平行線的性質和判定,利用平行線的判斷定理及其推論來證明,這是證明兩直線平行最基本的方法,關鍵是找出同位角、內錯角的相等關系或同旁內角的互補關系。 2、證明兩線段相等——利用三角形全等的性質和判定、利用等腰三角形的性質和判定 (1)如果兩線段分別在兩個三角形中,那么可證這兩個三角形全等,有時可能缺少直接條件,要證明兩次全等; (2)有時兩線段分別在兩個三角形中,但這兩個三角形不全等,那么可添輔助線構造全等三角形來證。常添的輔助線有:平行線、垂線、中線、連結線段等。 (3)如果兩線段是一個三角形的兩邊,可證它們所對的角相等、等角對等邊; (4)證明兩條線段都等于第三條線段,即以第三條線段為媒介。 3、證明兩角相等——利用三角形全等的性質和判定、利用等腰三角形的性質和判定。 4、證明兩直線互相垂直——利用垂直的定義、利用等腰三角形三線合一的性質。 *5、證一線段等于另一線段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法常常要作輔助線。 添輔助線:由于證明的需要,可以在原來的圖上添畫一些線,即添加輔助線來完成一些幾何證明,輔助線通常畫成虛線。 三角形證明題中常見在輔助線做法:利用三角形的主要線段構造全等三角形 。二、全等三角形 1、定義:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性質(1):全等三角形的對應邊相等、對應角相等。(2):全等三角形的周長相等、面積相等。(3):全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。3、全等三角形的判定邊邊邊:三邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“SSS”)邊角邊:兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全等(可簡寫成“SAS”)角邊角:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“ASA”)角角邊:兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“AAS”)斜邊.直角邊:斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成“HL”)4、證明兩個三角形全等的基本思路:三、勾股定理1、勾股定理的定義直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方,即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a,b,c有關系,那么這個三角形是直角三角形。3、勾股數:滿足的三個正整數,稱為勾股數。幾何主要定義: (1)角 角平分線的性質:角平分線上的點到角的兩邊距離相等,角的內部到兩邊距離相等的點在角平分線上。 (2)相交線與平行線 同角或等角的補角相等,同角或等角的余角相等; 對頂角的性質:對頂角相等 垂線的性質: ①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直; ②直線外一點有與直線上各點連結的所有線段中,垂線段最短; 線段垂直平分線定義:過線段的中點并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線; 線段垂直平分線的性質:線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線;平行線的定義:在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線; 平行線的判定: ①同位角相等,兩直線平行; ②內錯角相等,兩直線平行; ③同旁內角互補,兩直線平行; 平行線的特征: ①兩直線平行,同位角相等; ②兩直線平行,內錯角相等; ③兩直線平行,同旁內角互補; 平行公理:經過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線。 (3)三角形 三角形的三邊關系定理及推論:三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊; 三角形的內角和定理:三角形的三個內角的和等于; 三角形的外角和定理:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個的和; 三角形的外角和定理推理:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角; 角形的三條角平分線交于一點(內心); 三角形的三邊的垂直平分線交于一點(外心); 三角形中位線定理:三角形兩邊中點的連線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半; 全等三角形的判定: ①邊角邊公理(SAS) ②角邊角公理(ASA) ③角角邊定理(AAS) ④邊邊邊公理(SSS) ⑤斜邊、直角邊公理(HL) 等腰三角形的性質: ①等腰三角形的兩個底角相等; ②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一) 等腰三角形的判定: 有兩個角相等的三角形是等腰三角形; 直角三角形的性質: ①直角三角形的兩個銳角互為余角; ②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半; ③直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理); ④直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半; 直角三角形的判定: ①有兩個角互余的三角形是直角三角形; ②如果三角形的三邊長a、b 、c有下面關系,那么這個三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。公式:1、 長方形的周長=(長+寬)×2 C=(a+b)×2 2、 正方形的周長=邊長×4 C=4a 3、 長方形的面積=長×寬 S=ab 4、 正方形的面積=邊長×邊長 S=a.a= a2 5、 三角形的面積=底×高÷2 S=ah÷2 6、 平行四邊形的面積=底×高 S=ah 7、 梯形的面積=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)×h÷2 8、 圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2c=πd =2πr 9、 圓的面積=圓周率×半徑×半徑S=πr210、 菱形面積=對角線乘積的一半S=(a×b)÷2 11、 弧長計算公式:L=n兀R/180 12、 扇形面積公式:S扇形=n兀R2/360=LR/2 11
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