(新課標)2020高考數學二輪總復習1.5.1求(軌跡)方程、參數(值)范圍、弦長專題限時訓練文.docx

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?1.5.1 求(軌跡)方程、參數(值)范圍、弦長專題限時訓練 (小題提速練)(建議用時:45分鐘)一、選擇題1.圓心在y軸上,半徑長為1,且過點(1,2)的圓的方程是(  )A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:設圓心坐標為(0,a),則=1,∴a=2.故圓的方程為x2+(y-2)2=1.故選A.答案:A2.直線l:mx-y+1=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關系是(  )A.相切 B.相離C.相交 D.不確定解析:由直線l:mx-y+1=0,得y-1=m(x-0),因此直線l恒過點(0,1).又點(0,1)是圓C的圓心,所以直線l與圓C的位置關系是相交.故選C.答案:C3.(2019·廣州調研)若點P(1,1)為圓C:x2+y2-6x=0的弦MN的中點,則弦MN所在直線的方程為(  )A.2x+y=0 B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0解析:由圓的方程易知圓心C的坐標為(3,0),又P(1,1),所以kPC==-,易知MN⊥PC,所以kMN·kPC=-1,所以kMN=2.根據弦MN所在的直線經過P(1,1)得所求直線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故選D.答案:D4.已知拋物線y2=8x的焦點與雙曲線-y2=1(a>0)的一個焦點重合,則該雙曲線的離心率為(  )A. B.C. D.解析:拋物線的焦點坐標為(2,0),也是雙曲線的一個焦點,所以a2+1=22,解得a=.所以該雙曲線的離心率e===.故選C.答案:C5.雙曲線-2y2=1的漸近線與圓x2+(y+a)2=1相切,則正實數a的值為(  )A. B. C. D.解析:∵雙曲線-2y2=1的漸近線方程為y=±x,圓心為(0,-a),半徑為1,∴由漸近線和圓相切,得=1,解得a=.故選C.答案:C6.拋物線y2=-4x上橫坐標為-6的點P到焦點F的距離為(  )A.6 B.7 C.8 D.9解析:方法一 拋物線y2=-4x的焦點坐標為F(-1,0),把x=-6代入y2=-4x中,得y=±2,所以P(-6,±2),|PF|==7.故選B.方法二 拋物線y2=-4x的準線方程為x=1,則|PF|=1-(-6)=7.故選B.答案:B7.已知圓C:x2+y2+6x+8y+21=0,拋物線y2=8x的準線為l,設拋物線上任意一點P到直線l的距離為m,則m+|PC|的最小值為(  )A.5 B.C.-2 D.4解析:由題得,圓C的圓心坐標為(-3,-4),拋物線的焦點為F(2,0).根據拋物線的定義,得m+|PC|=|PF|+|PC|≥|FC|=.故選B.答案:B8.(2019·唐山模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)和雙曲線E:x2-y2=1有相同的焦點F1,F2,且離心率之積為1,P為兩曲線的一個交點,則△F1PF2的形狀為(  )A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定解析:由題意可知,×=1?c=a,因為c=,所以a=2,b2=a2-c2=2,不妨設P與F2在y軸右側,則得|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,所以△F1PF2為直角三角形.故選B.答案:B9.已知F1,F2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個焦點,P為C上一點.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小內角大小為30°,則雙曲線C的漸近線方程為(  )A.x±y=0 B.x±y=0C.2x±y=0 D.x±2y=0解析:由題意不妨設|PF1|>|PF2|,則根據雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,又c>a,所以|PF2|<|F1F2|,所以∠PF1F2=30°.因為(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4acos 30°,所以c=a.所以b=a.所以漸近線方程為y=±x=±x,即x±y=0.選A.答案:A10.若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為(  )A.1 B.C.2 D.2解析:設橢圓C:+=1(a>b>0),則使三角形面積最大時,三角形在橢圓上的頂點為橢圓短軸端點,所以S=×2c×b=bc=1≤=.所以a2≥2,所以a≥,所以長軸長2a≥2.故選D.答案:D11.已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點.若·<0,則y0的取值范圍是(  )A. B.C. D.解析:由題意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨設F1(-,0),F2(,0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=x-3+y=3y-1<0,所以-<y0b>0)的短軸位于x軸下方的端點,過B作斜率為1的直線交橢圓于點M,點P在y軸上,且PM∥x軸,·=9,若點P的坐標為(0,t),則t的取值范圍是(  )A.(0,3) B.(0,3]C. D.解析:因為P(0,t),B(0,-b),所以M(t+b,t).所以=(0,t+b),=(t+b,t+b).因為·=9,所以(t+b)2=9,t+b=3.因為0<t<b,所以0<t<3-t.所以0<t0)的公共弦的長為2,則a=    .解析:兩圓的方程相減,得公共弦所在的直線方程為y=.又a>0,結合圖象,再利用半徑、弦長的一半及弦心距構成直角三角形,可知==1?a=1.答案:114.(2019·臨沂三模)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,過F2的直線交橢圓于A,B兩點,△ABF1的周長為8,則該橢圓的短軸長為________.解析:由題意4a=8,a=2c,?a=2,c=1,由a2=b2+c2,解得b=.則該橢圓的短軸長為2.答案:215.若拋物線y2=2x上的一點M到坐標原點O的距離為,則點M到該拋物線焦點的距離為    .解析:設點M(xM,yM),則即x+2xM-3=0,解得xM=1或xM=-3(舍去).故點M到該拋物線焦點的距離為1+=.答案:16.已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B.若△OAB的垂心為C2的焦點F,則C1的離心率是    .解析:設點A在點B的左側,拋物線C2的焦點F.聯立方程和得A,B.∵F為△OAB的垂心,∴·=0,即+-=0.∴=.∴e2=1+=,e=.答案:專題限時訓練 (大題規范練)(建議用時:30分鐘)1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F且與x軸不垂直的直線l與拋物線交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且y1y2=-4.(1)求拋物線的方程;(2)設直線l與y軸交于點D,試探究:線段AB與FD的長度能否相等?如果相等,求直線l的方程,如果不等,說明理由.解析:(1)設直線l:y=k,代入y2=2px得,ky2-2py-kp2=0,由韋達定理得y1y2=-p2=-4,解得p=2,即拋物線方程為y2=4x.(2)由(1)知l:y=k(x-1)(k≠0),聯立方程組,消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,Δ=16(k2+1)>0恒成立.所以x1+x2=2+,x1x2=1,因為直線l過點F,所以|AB|=x1+x2+2=4+.又D(0,-k),F(1,0),∴|DF|=.由|AB|=|FD|,∴4+2=1+k2,即162=1+k2,16=1+k2.∴(1+k2)(k4-16k2-16)=0,k4-16k2-16=0,所以k2=8+4,(負的已舍去)從而k=±2,所以當l的方程為y=±2(x-1)時有|AB|=|FD|.2.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且橢圓C上的點到一個焦點的距離的最小值為-.(1)求橢圓C的方程;(2)已知過點T(0,2)的直線l與橢圓C交于A,B兩點,若在x軸上存在一點E,使∠AEB=90°,求直線l的斜率k的取值范圍.解析:(1)設橢圓的半焦距長為c,則由題設有解得a=,c=,∴b2=1,故橢圓C的方程為+x2=1.(2)由已知可得,以AB為直徑的圓與x軸有公共點.設A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點為M(x0,y0),將直線l:y=kx+2代入+x2=1,得(3+k2)x2+4kx+1=0,Δ=12k2-12,∴x0==,y0=kx0+2=,|AB|==,∴解得k4≥13.即k≥或k≤-.所以斜率k的取值范圍為[,+∞]∪(-∞,- ].3.已知拋物線C1:x2=2py(p>0),O是坐標原點,點A,點B為拋物線C1上異于O點的兩點,以OA為直徑的圓C2過點B.(1)若A(-2,1),求p的值以及圓C2的方程;(2)求圓C2的面積S的最小值(用p表示).解析:(1)∵A(-2,1)在拋物線C1上,∴4=2p,p=2.又圓C2的圓心為,半徑為=,∴圓C2的方程為(x+1)2+2=.(2)記A,B,則=,=.由·=0,知x2(x2-x1)+=0.∵x2≠0且x1≠x2,∴x+x1·x2=-4p2,∴x1=-.∴x=x++8p2≥2+8p2=16p2,當且僅當x=,即x=4p2時取等號.又|OA|2=x+=(x+4p2·x),注意到x≥16p2,∴|OA|2≥(162·p4+4p2·16p2)=80p2.而S=π·,∴S≥20πp2,即S的最小值為20πp2,當且僅當x=4p2時取得.4.已知圓E:x2+2=經過橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點F1,F2,且與橢圓C在第一象限的交點為A,且F1,E,A三點共線,直線l交橢圓C于M,N兩點,且=λ(λ≠0,O為坐標原點).(1)求橢圓C的方程;(2)當△AMN的面積取到最大值時,求直線l的方程.解析:(1)∵F1,E,A三點共線,∴F1A為圓E的直徑,∴AF2⊥F1F2.由x2+2=,得x=±.∴c=,|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,2a=|AF1|+|AF2|=4,a=2.∵a2=b2+c2,∴b=,∴橢圓C的方程為+=1.(2)由(1)知,點A的坐標為(,1).∵=λ(λ≠0),∴直線l的斜率為,故設直線l的方程為y=x+m,聯立得x2+mx+m2-2=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=-m,x1x2=m2-2,Δ=2m2-4m2+8>0,∴-2<m<2.又|MN|=|x2-x1|=,點A到直線l的距離d=,∴S△MNA=|MN|·d=×|m|=≤×=,當且僅當4-m2=m2,即m=±時等號成立,此時直線l的方程為y=x±.
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