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2019_2020學年高中數學第8章三角恒等變換8.2.4三角恒等變換的應用第1課時半角的正弦、余弦和正切學案.docx

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?第1課時 半角的正弦、余弦和正切學 習 目 標核 心 素 養1.了解由二倍角的變形公式推導半角的正弦、余弦和正切公式的過程.(一般)2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式,能正確運用這些公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恒等式的證明.(重點、難點)1.通過半角的正弦、余弦和正切公式的推導,培養學生的邏輯推理的核心素養.2.借助半角的正弦、余弦和正切公式的應用,提升學生的數學運算和邏輯推理核心素養.半角公式sin=±,cos=±,tan=±==.思考:如何確定半角的正弦、余弦和正切公式的符號?[提示](1)如果沒有給出決定符號的條件,則在根號前保留正負兩個符號.(2)若給出角α的具體范圍(即某一區間)時,則先求角所在范圍,然后再根據角所在象限確定符號.1.若cos α=,α∈(0,π),則cos 的值為(  )A.  B.-   C.    D.-C [由題意知∈,∴cos >0,cos ==.]2.下列各式與tan α相等的是(  )A.    B.C. D.D [===|tan α|;==tan ;==;==tan α.]3.設α∈(π,2π),則等于________.sin  [===.∵α∈(π,2π),∴∈,∴sin >0,故原式=sin .]化簡問題【例1】 已知π<α<,求+的值.[思路探究] 解答本題可先用二倍角公式“升冪”,再根據的范圍開方化簡.[解] 原式=+∵π<α<,∴<<,∴cos 0.∴原式=+=-+=-cos .要熟記一些可用公式的形式,如:1+cos α=2 cos2,1-cos α=2 sin2,1±sin α=等,解題時應有意識地將這些形式變形尋求思路.1.已知<θ<2π,試化簡:-.[解] ∵<θ<2π,∴<<π,∴0<sin<,-1<cos<-,從而sin+cos<0,sin-cos>0.∴原式=-=-=--=-2sin .求值問題【例2】 已知|cos θ|=,且<θ<3π,求sin ,cos ,tan 的值.[思路探究] ―→―→―→求[解] 由<θ<3π,且|cos θ|=可知,cos θ=-,∈.由sin2===,∴sin =-=-.由cos2===,∴cos =-.∴tan ===2.已知θ的某三角函數值,求的相應三角函數值時,常借助于半角公式sin2=,cos2=,tan ==來處理,由于上述式子中可能涉及解的不定性,故在求解中應注意求的范圍. 2.已知sin -cos =-,450°<α<540°,求sin α及tan 的值.[解]?。?-sin α=,∴sin α=,∴sin cos ==,∴==,解得tan =2或tan =.∵450°<α<540°,∴225°<1,∴tan =2.綜上可知sin α=,tan =2.三角恒等式的證明【例3】(1)求證:1+2cos2θ-cos 2θ=2.(2)求證:=.[思路探究](1)可由左向右證:先把左邊cos2 θ降冪化為同角后整理可證.(2)可先從左邊表達式分母中升冪縮角入手,再通過改變函數結構向右邊轉化.[證明](1)左邊=1+2×-cos 2θ=2=右邊.所以原等式成立.(2)左邊=======右邊.所以原等式成立.三角恒等式證明的五種常用方法:(1)執因索果法:證明的形式一般化繁為簡.(2)左右歸一法:證明左右兩邊都等于同一個式子.(3)拼湊法:針對題設和結論之間的差異,有針對性地變形,以消除它們之間的差異,簡言之,即化異求同.(4)比較法:設法證明“左邊-右邊=0”或“左邊/右邊=1”.(5)分析法:從被證明的等式出發,逐步探求使等式成立的條件,一直到已知條件或明顯的事實為止,就可以斷定原等式成立.3.已知0<α<,0<β0)的最小正周期為π.(1)求ω的值;(2)討論f(x)在區間上的單調性.[思路探究] 利用三角公式化簡函數式,寫為f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,再討論函數的性質.[解](1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos2 ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+.因為f(x)的最小正周期為π,且ω>0,從而有=π,故ω=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin+.若0≤x≤,則≤2x+≤.當≤2x+≤,即0≤x≤時,f(x)單調遞增;當<2x+≤,即0,sin ==.]2.已知sin α-cos α=-,則sin 2α的值等于(  )A. B.-C.- D.C [由sin α-cos α=-,(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=1-sin 2α=,所以sin 2α=-.]3.函數y=sin 2x+cos2x的最小正周期為________.π [∵y=sin 2x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin+,∴函數的最小正周期T==π.]4.求證:=.[證明] 原式可變形為1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ),①①式右邊=(1+2cos22θ-1+2sin 2θcos 2θ)=(2cos22θ+2sin 2θcos 2θ)=2sin 2θ(cos2θ+sin2θ)=2sin 2θcos2θ+2sin22θ=sin4θ+1-cos4θ=左邊.∴①式成立,即原式得證.
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三角 變換 恒等 應用 課時 8.2.4 數學 半角 高中 正弦
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