一元二次方程應用題歸納分類及經典例題.doc

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? 一元二次方程應用題總結分類及經典例題1、列一元二次方程解應用題的特點列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續和發展,從列方程解應用題的方法來講,列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的,由于一元一次方程未知數是一次,因此這類問題大部分都可通過算術方法來解決.如果未知數出現二次,用算術方法就很困難了,正由于未知數是二次的,所以可以用一元二次方程解決有關面積問題,經過兩次增長的平均增長率問題,數學問題中涉及積的一些問題,經營決策問題等等.2、列一元二次方程解應用題的一般步驟和列一元一次方程解應用題一樣,列一元二次方程解應用題的一般步驟是:“審、設、列、解、答”.(1)“審”指讀懂題目、審清題意,明確已知和未知,以及它們之間的數量關系.這一步是解決問題的基礎;(2)“設”是指設元,設元分直接設元和間接設元,所謂直接設元就是問什么設什么,間接設元雖然所設未知數不是我們所要求的,但由于對列方程有利,因此間接設元也十分重要.恰當靈活設元直接影響著列方程與解方程的難易;(3)“列”是列方程,這是非常重要的步驟,列方程就是找出題目中的等量關系,再根據這個相等關系列出含有未知數的等式,即方程.找出相等關系列方程是解決問題的關鍵;(4)“解”就是求出所列方程的解;(5)“答”就是書寫答案,應注意的是一元二次方程的解,有可能不符合題意,如線段的長度不能為負數,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要進行檢驗.3、數與數字的關系 兩位數=(十位數字)×10+個位數字三位數=(百位數字)×100+(十位數字)×10+個位數字4、翻一番 翻一番即表示為原量的2倍,翻兩番即表示為原量的4倍.5、增長率問題(1)增長率問題的有關公式: 增長數=基數×增長率    實際數=基數+增長數(2)兩次增長,且增長率相等的問題的基本等量關系式為: 原來的×(1+增長率)增長期數=后來的 說明:(1)上述相等關系僅適用增長率相同的情形; (2)如果是下降率,則上述關系式為:   原來的×(1-增長率)下降期數=后來的6、利用一元二次方程解幾何圖形中的有關計算問題的一般步驟(1)整體地、系統地審讀題意; (2)尋求問題中的等量關系(依據幾何圖形的性質);(3)設未知數,并依據等量關系列出方程;(4)正確地求解方程并檢驗解的合理性;(5)寫出答案.7、列方程解應用題的關鍵(1)審題是設未知數、列方程的基礎,所謂審題,就是要善于理解題意,弄清題中的已知量和未知數,分清它們之間的數量關系,尋求隱含的相等關系;(2)設未知數分直接設未知數和間接設未知數,這就需根據題目中的數量關系正確選擇設未知數的方法和正確地設出未知數.8、列方程解應用題應注意:(1)要充分利用題設中的已知條件,善于分析題中隱含的條件,挖掘其隱含關系;(2)由于一元二次方程通常有兩個根,為此要根據題意對兩根加以檢驗.即判斷或確定方程的根與實際背景和題意是否相符,并將不符合題意和實際意義的(一)傳播問題1. 市政府為了解決市民看病難的問題,決定下調藥品的價格。某種藥品經過連續兩次降價后,由每盒200元下調至128元,則這種藥品平均每次降價的百分率為2. 有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了個人。3. 某種植物的主干長出若干數目的支干,每個支干又長出同樣數目的小分支,主干、支干和小分支的總數是91,每個支干長出小分支。4. 參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行一場比賽,共比賽45場比賽,共有個隊參加比賽。5. 參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行兩次比賽,共比賽90場比賽,共有個隊參加比賽。6. 生物興趣小組的學生,將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件,全組共互贈了182件,這個小組共有多少名同學?7. 一個小組有若干人,新年互送賀卡,若全組共送賀卡72張,這個小組共有多少人?8. 某種電腦病毒傳播非???,如果一臺電腦被感染,經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染.請你用學過的知識分析,每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦?若病毒得不到有效控制,3輪感染后,被感染的電腦會不會超過700臺?(二)平均增長率問題變化前數量×(1x)n=變化后數量1. 青山村種的水稻2001年平均每公頃產7200公斤,2003年平均每公頃產8450公斤,水稻每公頃產量的年平均增長率為。2. 某種商品經過兩次連續降價,每件售價由原來的90元降到了40元,求平均每次降價率是。3. 周嘉忠同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”,到期后將本金和利息取出,并將其中的500元捐給“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的60%,這樣到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款時的年利率.(利息稅為20%,只需要列式子)。4. 某種商品,原價50元,受金融危機影響,1月份降價10%,從2月份開始漲價,3月份的售價為64.8元,求2、3月份價格的平均增長率。5. 某藥品經兩次降價,零售價降為原來的一半,已知兩次降價的百分率相同,求每次降價的百分率?6. 為了綠化校園,某中學在2007年植樹400棵,計劃到2009年底使這三年的植樹總數達到1324棵,求該校植樹平均每年增長的百分數。7. 王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”,到期后將本金和利息取出,并將其中的500元捐給“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90%,這樣到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款時的年利率.(假設不計利息稅)(三)商品銷售問題售價—進價=利潤 單件利潤×銷售量=總利潤 單價×銷售量=銷售額1. 某商店購進一種商品,進價30元.試銷中發現這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價X(元)滿足關系:P=100-2X銷售量P,若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤,那么每件商品的售價應定為多少元?每天要售出這種商品多少件?2. 某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓,每日最高產量為40只,且每日產出的產品全部售出,已知生產ⅹ只熊貓的成本為R(元),售價每只為P(元),且R、P與x的關系式分別為R=500+30X,P=170—2X。(1)當日產量為多少時每日獲得的利潤為1750元?(2)若可獲得的最大利潤為1950元,問日產量應為多少?3. 某水果批發商場經銷一種高檔水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,經市場調查發現,在進貨價不變的情況下,若每千克漲價1元,日銷售量將減少20千克?,F該商品要保證每天盈利6000元,同時又要使顧客得到實惠,那么每千克應漲價多少元?4. 服裝柜在銷售中發現某品牌童裝平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了迎接“六一”兒童節,商場決定采取適當的降價措施,擴大銷售量,增加盈利,減少庫存。經市場調查發現,如果每件童裝每降價4元,。省略部分。個直角三角形的兩條直角邊的和是14cm,面積是24cm2,兩條直角邊的長分別是。2. 一個直角三角形的兩條直角邊相差5㎝,面積是7㎝2,斜邊的長是。3. 一個菱形兩條對角線長的和是10㎝,面積是12㎝2,菱形的周長是。(結果保留小數點后一位)4. 為了綠化學校,需移植草皮到操場,若矩形操場的長比寬多14米,面積是3200平方米則操場的長為米,寬為米。5. 若把一個正方形的一邊增加2cm,另一邊增加1cm,得到的矩形面積的2 倍比正方形的面積多11cm2,則原正方形的邊長為cm.6. 如圖,在長為10cm,寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的正方形,使得留下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80%,所截去的小正方形的邊長是。7. 張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮,他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后,剩下的部分剛好能圍成一個容積為15立方米的無蓋長方體箱子,且此長方體箱子的底面長比寬多2米,現已購買這種鐵皮每平方米需20元錢,問張大叔購買這張鐵皮共花了是元錢8. 如圖,在寬為20m ,長為30m ,的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路,余分作為耕地為551㎡。則道路的寬為是。9. 如圖某農場要建一個長方形的養雞場,雞場的一邊靠墻(墻長18m),另三邊用木欄圍成,木欄長35m。①雞場的面積能達到150m2嗎?②雞場的面積能達到180m2嗎?如果能,請你給出設計方案;如果不能,請說明理由。(3)若墻長為m,另三邊用竹籬笆圍成,題中的墻長度m對題目的解起著怎樣的作用?(五)工程問題1. 某公司需在一個月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程.如果由甲、乙兩個工程隊合做,12天可完成;如果由甲、乙兩隊單獨做,甲隊比乙隊少用10天完成.(1)求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數.(2)如果請甲工程隊施工,公司每日需付費用2000元;如果請乙隊施工,公司每日需付費用1400元.在規定時間內:A.請甲隊單獨完成此項工程出.B請乙隊單獨完成此項工程;C.請甲、乙兩隊合作完成此項工程.以上三種方案哪一種花錢最少?2. 搬運一個倉庫的貨物,如果單獨搬空,甲需10小時完成,乙需12小時完成,丙需15小時完成,有貨物存量相的兩個倉庫A和B,甲在A倉庫,乙在B倉庫同時開始搬運貨物,丙開始幫助甲搬運,中途又轉向幫助乙,最后兩個倉庫的貨物同時搬完,丙幫助甲乙各多少時間?(列式子)3. 乙兩人都以不變的速度在環形路上跑步,相向而行,每隔2分鐘相遇一次;同向而行,每隔6分鐘相遇一次,已知甲比乙跑得快,求甲、乙每分鐘各跑幾圈?4. 某油庫的儲油罐有甲、乙兩個注油管,單獨開放甲管注滿油罐比單獨開放乙管注滿油罐少用4小時,兩管同時開放3小時后,甲管因發生故障停止注油,乙管繼續注油9小時后注滿油罐,求甲、乙兩管單獨開放注滿油罐時各需多少小時?(六)行程問題1、A、B兩地相距82km,甲騎車由A向B駛去,9分鐘后,乙騎自行車由B出發以每小時比甲快2km的速度向A駛去,兩人在相距B點40km處相遇。問甲、乙的速度各是多少?甲、乙二人分別從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時相向而行,相遇后,二人繼續前進,乙的速度不變,甲每小時比原來多走1千米,結果甲到達B地后乙還需30分鐘才能到達A地,求乙每小時走多少千米.3、甲、乙兩個城市間的鐵路路程為1600公里,經過技術改造,列車實施了提速,提速后比提速前速度增加20公里/小時,列車從甲城到乙城行駛時間減少4小時,這條鐵路在現有的安全條件下安全行駛速度不得超過140公里/小時.請你用學過的數學知識說明在這條鐵路現有的條件下列車還可以再次提速.4、甲、乙兩人分別騎車從A,B兩地相向而行,甲先行1小時后,乙才出發,又經過4小時兩人在途中的C地相遇,相遇后兩人按原來的方向繼續前進。乙在由C地到達A地的途中因故停了20分鐘,結果乙由C地到達A地時比甲由C地到達B地還提前了40分鐘,已知乙比甲每小時多行駛4千米,求甲、乙兩人騎車的速度。(七)、增長率問題:1、恒利商廈九月份的銷售額為200萬元,十月份的銷售額下降了20%,商廈從十一月份起加強管理,改善經營,使銷售額穩步上升,十二月份的銷售額達到了193.6萬元,求這兩個月的平均增長率.2、某種電腦病毒傳播非???,如果一臺電腦被感染,經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染.請你用學過的知識分析,每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦?若病毒得不到有效控制,3輪感染后,被感染的電腦會不會超過700臺?3、王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”,到期后將本金和利息取出,并將其中的500元捐給“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90%,這樣到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款時的年利率.(假設不計利息稅)4、周嘉忠同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”,到期后將本金和利息取出,并將其中的500元捐給“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的60%,這樣到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款時的年利率.(利息稅為20%,只需要列式子)5、市政府為了解決市民看病難的問題,決定下調藥品的價格。某種藥品經過連續兩次降價后,由每盒200元下調至128元,則這種藥品平均每次降價的百分率為 七、動態幾何:1、已知:如圖3-9-3所示,在△ 中, .點 從點 開始沿 邊向點 以1cm/s的速度移動,點 從點 開始沿 邊向點 以2cm/s的速度移動.(1)如果 分別從 同時出發,那么幾秒后,△ 的面積等于4cm2?(2)如果 分別從 同時出發,那么幾秒后, 的長度等于5cm?(3)在(1)中,△ 的面積能否等于7cm2?說明理由.八、其他類型題:1、象棋比賽中,每個選手都與其他選手恰好比賽一局,每局贏者記2分,輸者記0分.如果平局,兩個選手各記1分,領司有四個同學統計了中全部選 手的得分總數,分別是1979,1980,1984,1985.經核實,有一位同學統計無誤.試計算這次比賽共有多少個選手參加.2、機械加工需要用油進行潤滑以減少摩擦,某企業加工一臺大型機械設備潤滑用油量為90千克,用油的重復利用率為60%,按此計算,加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36千克.為了建設節約型社會,減少油耗,該企業的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進行攻關.(1)甲車間通過技術革新后,加工一臺大型機械設備潤滑油用油量下降到70千克,用油的重復利用率仍然為60%.問甲車間技術革新后,加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少千克?(2)乙車間通過技術革新后,不僅降低了潤滑用油量,同時也提高了用油的重復利用率,并且發現在技術革新的基礎上,潤滑用油量每減少1千克,用油量的重復利用率將增加1.6%.這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12千克.問乙車間技術革新后,加工一臺大型機械設備潤滑用油量是多少千克?用油的重復利用率是多少? 12
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