韋達定理與習題.doc

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?一. 本周教學內容:韋達定理的應用二. 重點、難點:靈活應用韋達定理與推論(韋達定理的逆定理)三.知識回顧在初中數學的學習中,韋達定理及其逆定理的應用是很廣泛的,主要有如下的應用:1. 已知一元二次方程的一根,求另一根。2. 已知一元二次方程的兩根,求作新的一元二次方程。3. 不解方程,求關于兩根的代數式的值。4. 一元二次方程的驗根。5. 解一類特殊的二元二次方程組和通過換元等方法求解二次根式方程。6. 與判別式的綜合應用?!镜湫屠}】例1:已知關于x的方程2x-(m+1)x+1-m=0的一個根為4,求另一個根。解:設另一個根為x則相加,得x 例2:已知方程x-5x+8=0的兩根為x,x,求作一個新的一元二次方程,使它的兩根分別為和解:∵又∴代入得,∴新方程為例3:判斷是不是方程9x-10x-2=0的一個實數根?解:∵二次實數方程實根共軛?!嗳羰?,則另一根為∴,?!嘁詾楦囊辉畏匠碳礊?例4:解方程組解:設∴. ∴A=5. ∴x-y=5又xy=-6. ∴解方程組∴可解得 例5:已知RtABC中,兩直角邊長為方程x-(2m+7)x+4m(m-2)=0的兩根,且斜邊長為13,求S的值解:不妨設斜邊為C=13,兩條直角邊為a,b。則2。又a,b為方程兩根?!郺b=4m(m-2)∴S但a,b為實數且∴∴∴m=5或6當m=6時, ∴m=5∴S.例6:M為何值時,方程8x-(m-1)x+m-7=0的兩根① 均為正數 ②均為負數 ③一個正數,一個負數 ④一根為零 ⑤互為倒數解:①∵ ∴m>7②∵ ∴不存在這樣的情況。③∴m<7④∴m=7⑤ ∴m=15.但使∴不存在這種情況【模擬試題】(答題時間:30分鐘)1. 設n為方程x+mx+n=0(n≠0)的一個根,則m+n等于 2. 已知方程x+px-q=0的一個根為-2+,可求得p= ,q= 3. 若方程x+mx+4=0的兩根之差的平方為48,則m的值為( )A.±8 B.8 C.-8 D.±44. 已知兩個數的和比a少5,這兩個數的積比a多3,則a為何值時,這兩個數相等?5. 已知方程(a+3)x+1=ax有負數根,求a的取值范圍。6. 已知方程組的兩組解分別為,,求代數式a1b2+a2b1的值。7. ABC中,AB=AC, A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,b和c是關于x 的方程x+mx+2-m=0的兩個實數根,求ABC的周長?!驹囶}答案】1. -1 2. 4,1 3. A 4. a=1或135. -3≤a≤-2 提示:分a=-3以及a≠-3討論求解6. 13例1 已知p+q=198,求方程x2+px+q=0的整數根. (’94祖沖之杯數學邀請賽試題) 解:設方程的兩整數根為x1、x2,不妨設x1≤x2.由韋達定理,得 x1+x2=-p,x1x2=q. 于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198, 即x1x2-x1-x2+1=199. ∴(x1-1)(x2-1)=199. 注意到x1-1、x2-1均為整數, 解得x1=2,x2=200;x1=-198,x2=0. 例2 已知關于x的方程x2-(12-m)x+m-1=0的兩個根都是正整數,求m的值. 解:設方程的兩個正整數根為x1、x2,且不妨設x1≤x2.由韋達定理得 x1+x2=12-m,x1x2=m-1. 于是x1x2+x1+x2=11, 即(x1+1)(x2+1)=12. ∵x1、x2為正整數, 解得x1=1,x2=5;x1=2,x2=3. 故有m=6或7. 例3 求實數k,使得方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整數. 解:若k=0,得x=1,即k=0符合要求. 若k≠0,設二次方程的兩個整數根為x1、x2,由韋達定理得 ∴x1x2-x1-x2=2, (x1-1)(x2-1)=3. 因為x1-1、x2-1均為整數,所以 例4 已知二次函數y=-x2+px+q的圖像與x軸交于(α,0)、(β,0)兩點,且α>1>β,求證:p+q>1. (’97四川省初中數學競賽試題) 證明:由題意,可知方程-x2+px+q=0的兩根為α、β.由韋達定理得 α+β=p,αβ=-q. 于是p+q=α+β-αβ, =-(αβ-α-β+1)+1 =-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β). 一元二次方程根的判別式、判別式與根的個數關系、判別式與根、韋達定理及其逆定理 〖大綱要求〗 1.掌握一元二次方程根的判別式,會判斷常數系數一元二次方程根的情況。對含有字母系數的由一元二次方程,會根據字母的取值范圍判斷根的情況,也會根據根的情況確定字母的取值范圍; 2.掌握韋達定理及其簡單的應用; 3.會在實數范圍內把二次三項式分解因式; 4.會應用一元二次方程的根的判別式和韋達定理分析解決一些簡單的綜合性問題。 內容分析 1.一元二次方程的根的判別式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac△>0時,方程有兩個不相等的實數根當△=0時,方程有兩個相等的實數根, 當△<0時,方程沒有實數根. 2.一元二次方程的根與系數的關系 (1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a (2)如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1,x2,那么x1+x2=-P,x1x2=q (3)以x1,x2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 3.二次三項式的因式分解(公式法) 在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時,如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1,x2,那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 〖考查重點與常見題型〗 1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況,有關試題出現在選擇題或填空題中,如:關于x的方程ax2-2x+1=0中,如果a<0,那么根的情況是( ) (A)有兩個相等的實數根 (B)有兩個不相等的實數根 (C)沒有實數根 (D)不能確定 2.利用一元二次方程的根與系數的關系求有關兩根的代數式的值,有關問題在中考試題中出現的頻率非常高,多為選擇題或填空題,如: 設x1,x2是方程2x2-6x+3=0的兩根,則x12+x22的值是( ) (A)15 (B)12 (C)6 (D)3 3.在中考試題中常出現有關根的判別式、根與系數關系的綜合解答題。在近三年試題中又出現了有關的開放探索型試題,考查了考生分析問題、解決問題的能力。 考查題型 1.關于x的方程ax2-2x+1=0中,如果a<0,那么根的情況是( ) (A)有兩個相等的實數根 (B)有兩個不相等的實數根 (C)沒有實數根 (D)不能確定 2.設x1,x2是方程2x2-6x+3=0的兩根,則x12+x22的值是( ) (A)15 (B)12 (C)6 (D)3 3.下列方程中,有兩個相等的實數根的是( ) (A) 2y2+5=6y(B)x2+5=2√5 x(C)√3 x2-√2 x+2=0(D)3x2-2√6 x+1=0 4.以方程x2+2x-3=0的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是( ) (A) y2+5y-6=0 (B)y2+5y+6=0 (C)y2-5y+6=0 (D)y2-5y-6=0 5.如果x1,x2是兩個不相等實數,且滿足x12-2x1=1,x22-2x2=1, 那么x1?x2等于( ) (A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1 6.如果一元二次方程x2+4x+k2=0有兩個相等的實數根,那么k= 7.如果關于x的方程2x2-(4k+1)x+2 k2-1=0有兩個不相等的實數根,那么k的取值范圍是 8.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的兩根,則x1+x2= ,x1?x2= ,(x1-x2)2= 9.若關于x的方程(m2-2)x2-(m-2)x+1=0的兩個根互為倒數,則m= 二、考點訓練: 1、 不解方程,判別下列方程根的情況: (1)x2-x=5 (2)9x2-6√2 +2=0 (3)x2-x+2=0 2、 當m= 時,方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數根; 當m= 時,方程mx2+4x+1=0有兩個不相等的實數根; 3、 已知關于x的方程10x2-(m+3)x+m-7=0,若有一個根為0,則m= ,這時方程的另一個根是 ;若兩根之和為-3/5 ,則m= ,這時方程的兩個根為 . 4、 已知3-2 是方程x2+mx+7=0的一個根,求另一個根及m的值。 5、 求證:方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0沒有實數根。 6、 求作一個一元二次方程使它的兩根分別是1-√5 和1+√5 。 7、 設x1,x2是方程2x2+4x-3=0的兩根,利用根與系數關系求下列各式的值: (1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 (3)x12+ x1x2+2 x1 解題指導 1、 如果x2-2(m+1)x+m2+5是一個完全平方式,則m= ; 2、 方程2x(mx-4)=x2-6沒有實數根,則最小的整數m= ; 3、 已知方程2(x-1)(x-3m)=x(m-4)兩根的和與兩根的積相等,則m= ; 4、 設關于x的方程x2-6x+k=0的兩根是m和n,且3m+2n=20,則k值為 ; 5、 設方程4x2-7x+3=0的兩根為x1,x2,不解方程,求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1-x2 (3)√x1 +√x2 *(4)x1x22+12 x1 *6.實數s、t分別滿足方程19s2+99s+1=0和且19+99t+t2=0求代數式(st+4s+1)/t 的值。 7.已知a是實數,且方程x2+2ax+1=0有兩個不相等的實根,試判別方程x2+2ax+1-(1/2) (a2x2-a2-1)=0有無實根? 8.求證:不論k為何實數,關于x的式子(x-1)(x-2)-k2都可以分解成兩個一次因式的積。 9.實數K在什么范圍取值時,方程kx2+2(k-1)x-(K-1)=0有實數正根? 獨立訓練(一) 1、 不解方程,請判別下列方程根的情況; (1)2t2+3t-4=0, ; (2)16x2+9=24x, ; (3)5(u2+1)-7u=0, ; 2、 若方程x2-(2m-1)x+m2+1=0有實數根,則m的取值范圍是 ; 3、 一元二次方程x2+px+q=0兩個根分別是2+√3 和2-√3 ,則p= ,q= ; 4、 已知方程3x2-19x+m=0的一個根是1,那么它的另一個根是 ,m= ; 5、 若方程x2+mx-1=0的兩個實數根互為相反數,那么m的值是 ; 6、 m,n是關于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個實數根,則代數式mn= 。 7、 已知關于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6,求k的值; 8、 如果α和β是方程2x2+3x-1=0的兩個根,利用根與系數關系,求作一個一元二次方程,使它的兩個根分別等于α+(1/β) 和β+(1/α) ; 9、 已知a,b,c是三角形的三邊長,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個相等的實數根,求證:這個三角形是正三角形 10.取什么實數時,二次三項式2x2-(4k+1)x+2k2-1可因式分解. 11.已知關于X的一元二次方程m2x2+2(3-m)x+1=0的兩實數根為α,β,若s=1/α +1/β ,求s的取值范圍。 獨立訓練(二) 1、 已知方程x2-3x+1=0的兩個根為α,β,則α+β= , αβ= ; 2、 如果關于x的方程x2-4x+m=0與x2-x-2m=0有一個根相同,則m的值為 ; 3、 已知方程2x2-3x+k=0的兩根之差為2又1/2 ,則k= ; 4、 若方程x2+(a2-2)x-3=0的兩根是1和-3,則a= ; 5、 方程4x2-2(a-b)x-ab=0的根的判別式的值是 ; 6、 若關于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有兩個實數根,且這兩個根互為倒數,那么m的值為 ; 7、 已知p<0,q<0,則一元二次方程x2+px+q=0的根的情況是 ; 8、 以方程x2-3x-1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是 ; 9、 設x1,x2是方程2x2-6x+3=0的兩個根,求下列各式的值: (1)x12x2+x1x22 (2) 1/x1 -1/x2 10.m取什么值時,方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0 (1) 有兩個不相等的實數根,(2)有兩個相等的實數根,(3)沒有實數根; 11.設方程x2+px+q=0兩根之比為1:2,根的判別式Δ=1,求p,q的值。 12.是否存在實數k,使關于x的方程9x2-(4k-7)x-6k2=0的兩個實根x1,x2,滿足|x1/x2 |=3/2 ,如果存在,試求出所有滿足條件的k的值,如果不存在,請說明理由。
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