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微分中值定理與導數的應用習題.doc

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?第四章 微分中值定理與導數的應用習題12§4.1 微分中值定理1. 填空題(1)函數在上使拉格朗日中值定理結論成立的ξ是.(2)設,則有 3 個實根,分別位于區間中.2. 選擇題(1)羅爾定理中的三個條件:在上連續,在內可導,且,是在內至少存在一點,使成立的( B ). A. 必要條件 B.充分條件 C. 充要條件 D. 既非充分也非必要條件(2)下列函數在上滿足羅爾定理條件的是( C ).A.  B.    C.     D. (3)若在內可導,且是內任意兩點,則至少存在一點,使下式成立( B ).A. B. 在之間C. D. 3.證明恒等式:.證明: 令,則,所以為一常數.設,又因為,故 .4.若函數在內具有二階導數,且,其中 ,證明:在內至少有一點,使得.證明:由于在上連續,在可導,且,根據羅爾定理知,存在, 使. 同理存在,使. 又在上符合羅爾定理的條件,故有,使得.5. 證明方程有且僅有一個實根.證明:設, 則,根據零點存在定理至少存在一個, 使得.另一方面,假設有,且,使,根據羅爾定理,存在使,即,這與矛盾.故方程只有一個實根.6. 設函數的導函數在上連續,且,其中是介于之間的一個實數. 證明: 存在, 使成立.證明: 由于在內可導,從而在閉區間內連續,在開區間內可導.又因為,根據零點存在定理,必存在點,使得. 同理,存在點,使得.因此在上滿足羅爾定理的條件,故存在, 使成立.7. 設函數在上連續, 在內可導. 試證:至少存在一點, 使 證明: 只需令,利用柯西中值定理即可證明.8.證明下列不等式(1)當時,.證明: 設,函數在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件,且, 故, 即 ()因此, 當時,.(2)當 時,.證明:設,則函數在區間上滿足拉格朗日中值定理得條件,有因為,所以,又因為,所以,從而 .§4.2 洛畢達法則1. 填空題(1) (2) 0 (3)= (4)12.選擇題(1)下列各式運用洛必達法則正確的是( B )A. B.   C.    不存在D. =(2) 在以下各式中,極限存在,但不能用洛必達法則計算的是( C )A. B. C.   D. 3. 求下列極限(1). 解: =.(2).解: ===. (3) . 解:==.(4) .解:==.(5). 解: ,==.(6) . 解:(7) . 解:.(8). 解: ===.(9) .解: 因為,所以=1.§4.3函數的單調性與曲線的凹凸性1. 填空題(1) 函數的單調增加區間是,單調減少區間.(2)若函數二階導數存在,且,則在上是單調 增加 .(3)函數在內單調增加,則.(4)若點(1,3)為曲線的拐點,則,,曲線的凹區間為,凸區間為.2. 單項選擇題(1)下列函數中,( A )在指定區間內是單調減少的函數.   A.    B.     C.     D.   (2)設,則在區間內( B ).A. 單調增加,曲線為凹的 B.  單調減少,曲線為凹的  C.  單調減少,曲線為凸的 D.單調增加,曲線為凸的(3)在內可導, 且,當 時, ,則( D )A. 任意 B. 任意C. 單調增 D. 單調增(4)設函數在上二階導數大于0, 則下列關系式成立的是( B )A. B. C. D. 2. 求下列函數的單調區間(1).解:,當時,,所以函數在區間為單調增加; 當時,,所以函數在區間為單調減少.(2).解:,當,或時,,所以函數在區間為單調增加;當時,,所以函數在區間為單調減少.(3)解: ,故函數在單調增加.3. 證明下列不等式(1)證明: 對任意實數和, 成立不等式.證明:令,則, 在內單調增加.于是, 由 , 就有 , 即(2)當時, .證明:設, ,由于當時,, 因此在單調遞增, 當 時, , 故在單調遞增, 當 時, 有.故當時,, 因此.(3)當 時,.證明:設, ,當,,所以在單調遞增, 當 時, , 故在單調遞增, 從而當 時, 有. 因此當 時,.4. 討論方程(其中為常數)在內有幾個實根.解:設 則在連續, 且, 由,得為內的唯一駐點.在上單調減少,在上單調增加. 故為極小值,因此在的最大值是,最小值是. (1) 當或時,方程在內無實根; (2) 當時,有兩個實根; (3) 當時,有唯一實根.5. 試確定曲線中的a、b、c、d,使得處曲線有水平切線,為拐點,且點在曲線上.解: ,,所以解得: .6.求下列函數圖形的拐點及凹或凸的區間(1) 解: , ,令,得,當時不存在.當或時, ,當或時, .故曲線在上是凸的, 在區間和上是凹的,曲線的拐點為.  ?。ǎ玻┕拯c及凹或凸的區間解: ,.當時,不存在;當時,. 故曲線在上是凸的, 在上是凹的,是曲線的拐點, 7.利用凹凸性證明: 當時, 證明:令, 則, .當時, , 故函數的圖形在上是凸的, 從而曲線在線段(其中)的上方,又, 因此,即.§4.4 函數的極值與最大值最小值1. 填空題(1)函數取極小值的點是.(2) 函數在區間上的最大值為,最小值為 .2.選擇題(1) 設在內有二階導數,,問還要滿足以下哪個條件,則必是的最大值?( C )A. 是的唯一駐點 B. 是的極大值點C. 在內恒為負 D. 不為零(2) 已知對任意滿足,若,則( B?。〢. 為的極大值 B. 為的極小值C. 為拐點 D. 不是極值點, 不是拐點(3)若在至少二階可導, 且,則函數在處( A )A. 取得極大值 B. 取得極小值 C. 無極值 D. 不一定有極值3. 求下列函數的極值(1)?。猓河?,得.,所以函數在點取得極小值.(2).解:定義域為,,令得駐點,當時,,當時,.因此為極大值.4. 求的在上的最大值與最小值.解:.由,得, .而, 所以最大值為132,最小值為7.5. 在半徑為的球內作一個內接圓錐體,問此圓錐體的高、底半徑為何值時,其體積最大.解:設圓錐體的高為, 底半徑為,故圓錐體的體積為,由于,因此 ,由,得,此時.由于內接錐體體積的最大值一定存在,且在的內部取得. 現在在內只有一個根,故當, 時, 內接錐體體積的最大.6. 工廠與鐵路線的垂直距離為, 點到火車站的距離為. 欲修一條從工廠到鐵路的公路, 已知鐵路與公路每公里運費之比為,為了使火車站與工廠間的運費最省, 問點應選在何處? 解: 設, 與間的運費為, 則 (), 其中是某一正數. 由 , 得. 由于, , , 其中以為最小, 因此當AD=km時, 總運費為最?。?. 寬為的運河垂直地流向寬為的運河. 設河岸是直的,問木料從一條運河流到另一條運河去,其長度最長為多少?解: 問題轉化為求過點的線段的最大值. 設木料的長度為, ,木料與河岸的夾角為,則,且 , .則 ,由得, 此時,故木料最長為.§4.5 函數圖形的描繪1.求的漸近線.解:由 ,所以為曲線的鉛直漸近線.因為 所以為曲線的斜漸近線.第四章 綜合練習題1.填空題(1) 0 .(2) 函數在區間內單調減少,在區間內單調增加.(3) 曲線的漸近線是.(4) 1 .2. 求下列極限(1) 解:=====.(2) 解:===.3. 求證當時, .證明: 令, 則 , 當時, ,故在單調增. 當時,有,即 .  4. 設在上可導且,證明:存在點使.證明: 設, 則,且.由拉格朗日中值定理知, 存在,使, 即.5. 設函數在上連續,在內具有二階導數且存在相等的最大值, 且, , 證明: 存在,使得.證明: 設分別在取得最大值, 則, 且. 令.當時, , 由羅爾定理知, 存在, 使, 進一步由羅爾定理知, 存在,使,即當時, ,,由零點存在定理可知,存在,使. 由于,由前面證明知, 存在,使,即.6. 設,證明方程有且僅有一個正的實根.證明:設. 當,顯然只有一個正的實根.下考慮時的情況.先證存在性: 因為在內連續,且,,由零點存在定理知,至少存在一個,使,即至少有一個正的實根.再證唯一性:假設有,且,使,根據羅爾定理,存在,使,即,從而,這與矛盾.故方程只有一個正的實根.7. 對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明,一個中等水平的工人早上8時開始工作,在小時之后,生產出個產品.問:在早上幾點鐘這個工人工作效率最高?解:因為,, 令,得. 又當時,.函數在上單調增加;當時,,函數在上單調減少.故當時,達到最大, 即上午11時這個工人的工作效率最高.
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