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微積分下冊期末試卷及答案.doc

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?微積分(下)試卷及參考答案1、已知,則_____________.2、已知,則___________.3、函數在點取得極值.4、已知,則________.5、以(為任意常數)為通解的微分方程是____________________.6 知與均收斂,則常數的取值范圍是(   c  ).(A) (B) (C) (D) 7 數在原點間斷,是因為該函數(  b   ).(A) 在原點無定義 (B) 在原點二重極限不存在 (C) 在原點有二重極限,但無定義(D) 在原點二重極限存在,但不等于函數值8、若,,,則下列關系式成立的是(    a). (A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解(  d  ). (A) (B) (C) (D) 10、設收斂,則(  d  ).(A) 絕對收斂 (B) 條件收斂 (C) 發散 (D) 不定一、填空題(每小題3分,共15分)1、. 2、. 3、. 4、1. 5、.11、求由,,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.解:的函數為。且時,。于是 12、求二重極限 . 解:原式 (3分) (6分)13、由確定,求. 解:設,則 , , , (3分) (6分)14、用拉格朗日乘數法求在條件下的極值. 解: 令,得,,為極小值點. (3分)故在下的極小值點為,極小值為 (6分)15、計算.解: (6分)6、計算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域.解:== (6分)17、解微分方程.解:令,,方程化為,于是 (3分) (6分)18、判別級數的斂散性.解: (3分) 因為 19、將函數展開成的冪級數,并求展開式成立的區間.解:由于,已知 ,, (3分)那么 ,. (6分20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據統計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)的及報紙廣告費用(萬元)之間的關系有如下的經驗公式:,求最優廣告策略 解:公司利潤為令即得駐點,而 (3分),,,,所以最優廣告策略為:電臺廣告費用(萬元),報紙廣告費用(萬元). (6分)四、證明題(每小題5分,共10分)21、設,證明:.證:22、若與都收斂,則收斂.證:由于, (3分)并由題設知與都收斂,則收斂,從而收斂。 (6分)1、設,則_____________.2、已知,則=___________.3、設函數在點取得極值,則常數4、已知,則________5、以(為任意常數)為通解的微分方程是__________________.6、已知與均收斂,則常數的取值范圍是( ).(A) (B) (C) (D) 7、對于函數,點( ).(A) 不是駐點 (B) 是駐點而非極值點 (C) 是極大值點 (D) 是極小值8、已知,,其中為,則( ).(A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解( ). (A) (B) (C) (D) 10、級數收斂,則級數( ).(A) 條件收斂 (B) 絕對收斂 (C) 發散 (D) 斂散性不定11、求,,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.12、求二重極限. 13、設,求.14、用拉格朗日乘數法求在滿足條件下的極值.15、計算.16、計算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域.17、解微分方程.18、判別級數的斂散性.19、將函數展開成的冪級數.20、某工廠生產甲、乙兩種產品,單位售價分別為40元和60元,若生產單位甲產品,生產單位乙產品的總費用為,試求出甲、乙兩種產品各生產多少時該工廠取得最大利潤.21、設,證明.22、若與都收斂,則收斂.(可能會有錯誤大家一定要自己核對)一、填空題(每小題3分,共15分)1、設,且當時,,則 。()2、計算廣義積分= 。()3、設,則 。()4、微分方程具有 形式的特解.()5、設,則_________。(1)二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 ( A )A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函數在點可微的 ( A )。 A.必要非充分的條件; B.充分非必要的條件; C.充分且必要的條件; D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 (D?。??! . ; B. ;  C、; D. 4、設二階常系數非齊次線性方程有三個特解,,,則其通解為 (C )。 A.; B.; C.; D.5、無窮級數(為任意實數) (D)A、收斂 B、絕對收斂 C、發散 D、無法判斷 三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限:。解: …(3分) …(6分)2、求由與直線、、所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積。解: …(4分) …(6分)3、求由所確定的隱函數的偏導數。解:方程兩邊對求導得:,有 。省略部分。 …(5分) 即故原方程通解為: …(6分)9、求級數的收斂區間。解:令,冪級數變形為,. …(3分)當時,級數為收斂;當時,級數為發散. 故的收斂區間是, …(5分)那么的收斂區間為. …(6分)10、 判定級數是否收斂,如果是收斂級數,指出其是絕對收斂還是條件收斂。解:因為 …(2分)由比值判別法知收斂(), …(4分)從而由比較判別法知收斂,所以級數絕對收斂. …(6分)四、證明題(每小題5分,共10分)1、設正項級數收斂,證明級數也收斂。證:, …(3分)而由已知收斂,故由比較原則,也收斂。 …(5分)2、設,其中為可導函數, 證明.證明:因為, …(2分) …(4分)所以. …(5分)一、填空題(每小題3分,共15分)1、設,且當時,,則 。()2、計算廣義積分= 。()3、設,則 。()4、微分方程具有 形式的特解.()5、級數的和為 。()二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 ( B )A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且連續是函數在點可微的 ( B ) A.必要非充分的條件; B.充分非必要的條件; C.充分且必要的條件; D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 ( B?。 . ; B. ;  C、; D. 4、設二階常系數非齊次微分方程有三個特解,,,則其通解為 (D) A、; B、; C、 ; D、5、無窮級數(為任意實數) (A)A、無法判斷 B、絕對收斂 C、收斂 D、發散三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限:。解: …(3分) …(6分) 2、求由在區間上,曲線與直線、所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積。 解: …(4分) …(6分)3、求由所確定的隱函數的偏導數。解:(一)令則 , , 利用公式,得 …(3分) …(6分)(二)在方程兩邊同時對x求導,得解出 , …(3分)同理解出 …(6分)4、求函數的極值。解:,則,,,,求駐點,解方程組得和. …(2分)對有,,,于是,所以點不是函數的極值點. …(4分)對有,,,于是,且,所以函數在點取得極小值, …(6分) …(5分)6、計算二重積分,其中是由及所圍成的閉區域;解: …(4分) …(6分)7、已知連續函數滿足,求。解:關系式兩端關于求導得:即 …(2分)這是關于的一階線性微分方程,其通解為: …(5分)又,即,故,所以 …(6分)8、求微分方程的通解。解 這是一個不明顯含有未知函數的方程作變換 令 ,則,于是原方程降階為  …(3分), 分離變量,積分得 即 ,從而 …(5分)再積分一次得原方程的通解 y= …(6分)9、求級數的收斂區間。解:令,冪級數變形為,. …(3分)當時,級數為收斂;當時,級數為發散. 故的收斂區間是, …(5分)那么的收斂區間為. …(6分)10、 判定級數是否收斂,如果是收斂級數,指出其是絕對收斂還是條件收斂:解:因為 …(2分)由比值判別法知收斂(), …(4分)從而由比較判別法知收斂,所以級數絕對收斂. …(6分)四、證明題(每小題5分,共10分)1、設級數收斂,證明也收斂。證:由于, …(3分)而,都收斂,故收斂,由比較原則知 收斂.?!?分)2、設,證明:。證明: 因為 , …(2分), , …(4分)所以 …(5分)第 13 頁 共 13 頁
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