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惠州市2012屆高三第二次調研考試數學(理科)試題.doc

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?惠州市2012屆高三第二次調研考試數學試題(理科) (本試卷共4頁,21小題,滿分150分??荚囉脮r120分鐘)注意事項:1.答卷前,考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.1.設集合,,若,則(  ?。〢. B. C. D.2.若其中,是虛數單位,則( )A.3 B.5 C.-3 D.-5 3.“”是“”成立( )條件。A.充分而不必要  B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.已知等比數列中,,且有,則( )A. B. C. D. 5.已知回歸直線的斜率的估計值是1.23,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線的方程是(  )A. B. C. D. 6.若的展開式中的系數是80,則實數a的值為( ) A.-2 B. C. D.27.如圖,正方體的棱長為,過點作平面的垂線,垂足為點,則以下命題中,錯誤的命題是( ?。粒c是的垂心 B.的延長線經過點 C.垂直平面 D.直線和所成角為8.已知函數若則( ) A.        B. C.        D.與的大小不能確定二、填空題(本大題共7小題,分為必做題和選做題兩部分.每小題5分,滿分30分)(一)必做題:第9至13題為必做題,每道試題考生都必須作答.9.已知中,,,則角等于_______10.如圖,三個幾何體,一個是長方體、一個是直三棱柱,一個是過圓柱上下底面圓心切下圓柱的四分之一部分,這三個幾何體的主視圖和俯視圖是相同的正方形,則它們的體積之比為 .是開始?輸出結束否11. 右面框圖表示的程序所輸出的結果是_______12.若直線與圓有兩個不同的公共點,則實數的取值范圍為 .13.已知雙曲線中心在原點,右焦點與拋物線的焦點重合,則該雙曲線的離心率為___________(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只能選做其中一題,兩題全答的,只計前一題的得分。14.(坐標系與參數方程選做題)曲線與直線有兩個公共點,則實數的取值范圍是_______.15.(幾何證明選講選做題)如圖,在⊙中,為直徑,為 弦,過點的切線與的延長線交于點,且,則 =_________三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.(本小題滿分分)已知函數,(1)求該函數的最小正周期和最小值;(2)若,求該函數的單調遞增區間。17.(本小題滿分12分)某工廠2011年第一季度生產的A、B、C、D四種型號的產品產量用條形圖表示如圖,現用分層抽樣的方法從中選取50件樣品參加四月份的一個展銷會: (1)問A、B、C、D型號的產品各抽取多少件? (2)從A、C型號的產品中隨機的抽取3件,用表示抽取A種型號的產品件數,求的分布列和數學期望。50100150200產品型號產量(單位件)18.(本小題滿分14分)在如圖所示的多面體中,⊥平面,,,,,,,是的中點.(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 19.(本小題滿分14分)已知數列滿足,且,為的前項和.(1)求證:數列是等比數列,并求的通項公式;(2)如果對于任意,不等式恒成立,求實數的取值范圍.20.(本小題滿分14分)已知點是圓上任意一點,點與點關于原點對稱。線段的中垂線分別與交于兩點.(1)求點的軌跡的方程;(2)斜率為的直線與曲線交于兩點,若(為坐標原點),試求直線在軸上截距的取值范圍.21.(本小題滿分14分)已知二次函數的圖象經過點、與點,設函數在和處取到極值,其中,。(1)求的二次項系數的值;(2)比較的大?。ㄒ蟀磸男〉酱笈帕校?;(3)若,且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線均相切,求。參考答案與評分標準一.選擇題:共8小題,每小題5分,滿分40分題號12345678答案CBAADDDB1.【解析】由,得,∴,從而,.選C.2.【解析】由,選B.3.【解析】由得到,由得到,選A.4.【解析】,,所以選A.5.【解析】由條件知,,,設回歸直線方程為,則.選D.6.【解析】的展開式中含的項為,由題意得,所以.選D.7.【解析】因為三棱錐A—是正三棱錐,故頂點A在底面的射影是底面中心,A正確;平面∥平面,而AH垂直平面,所以AH垂直平面,C正確;根據對稱性知B正確.選D.8.【解析】函數的對稱軸為,設,由得到,又,用單調性和離對稱軸的遠近作判斷,故選B.二.填空題:共7小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.9. 10. 11.1320 12. 13.14. 15.9.【解析】根據正弦定理, 10.【解析】因為三個幾何體的主視圖和俯視圖為相同的正方形,所 以原長方體棱長相等為正方體,原直三棱柱是底面為等腰直角三角形的直三棱柱,設正方形的邊長為則,長方體體積為,三棱柱體積為,四分之一圓柱的體積為,所以它們的體積之比為.11.【解析】該程序框圖的作用是計算的值。12.【解析】圓心到直線的距離.13.【解析】拋物線焦點F(4,0)得 又得,故. 14.【解析】曲線為拋物線段,借助圖形直觀易得。15.【解析】由條件不難得為等腰直角三角形,設圓的半徑為1,則,,,。三、解答題16.(本小題滿分分)解:(1) ………… 4分 所以 ………… 6分(2)………… 8分令,得到或, ………… 10分與取交集, 得到或,所以,當時,函數的. ………… 12分17.(本小題滿分12分)解:(1)從條表圖上可知,共生產產品 50+100+150+200=500(件),樣品比為 所以A、B、C、D四種型號的產品分別取 即樣本中應抽取A產品10件,B產品20件,C產品5件,D產品15件?!?4 分 (2) , , ……… 8 分 所以的分布列為0123P……… 10 分 ………12 分18.(本小題滿分14分)(1) 解法1證明:∵平面,平面,∴, 又,平面,∴平面. …………2分過作交于,則平面.∵平面, ∴. …………4分∵,∴四邊形平行四邊形,∴,∴,又,∴四邊形為正方形,∴, ……………6分又平面,平面,∴⊥平面. ………………………7分∵平面,∴. ………………………8分(2)∵平面,平面∴平面⊥平面由(1)可知∴⊥平面∵平面∴ ……………………9分取的中點,連結,∵四邊形是正方形,∴∵平面,平面∴⊥平面∴⊥∴是二面角的平面角, ………………………12分由計算得∴ ………………………13分∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.………………………14分解法2∵平面,平面,平面,∴,,又,∴兩兩垂直. ……………………2分以點E為坐標原點,分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得,(0,0,2),(2,0,0),(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2),(2,2,0). …………………………4分∴,,………6分∴, ………7分∴. …………………………8分(2)由已知得是平面的法向量. ………………………9分設平面的法向量為,∵,∴,即,令,得. ……………12分設平面與平面所成銳二面角的大小為,則 …………………………13分∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為. …………………………14分19.(本小題滿分14分)解:(1)對任意,都有,所以則成等比數列,首項為,公比為…………2分所以,…………4分 (2)因為所以…………7分因為不等式,化簡得對任意恒成立 ……………8分設,則 當,,為單調遞減數列,當,,為單調遞增數列 …………11分,所以, 時, 取得最大值…………13分所以, 要使對任意恒成立,…………14分20.(本小題滿分14分)解:(1)由題意得,圓的半徑為,且 ……… 1分從而 ………… 3分∴ 點M的軌跡是以為焦點的橢圓, ………… 5分其中長軸,得到,焦距,則短半軸橢圓方程為: ………… 6分(2)設直線l的方程為,由 可得則,即 ① ………… 8分設,則由可得,即 …………10分整理可得 …………12分即化簡可得,代入①整理可得,故直線在y軸上截距的取值范圍是. …………14分21.(本小題滿分14分)解:(1)由題意可設,又函數圖象經過點,則,得.……… 2分(2)由(1)可得。所以,, ………… 4分函數在和處取到極值, 故, ………… 5分, ………… 7分又,故。 …… 8分(3)設切點,則切線的斜率又,所以切線的方程是 …… 9分又切線過原點,故所以,解得,或。 ………… 10分兩條切線的斜率為,,由,得,,, ………………………… 12分所以,又兩條切線垂直,故,所以上式等號成立,有,且。所以。 ………… 14 分
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