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廣東省韶關市2012屆高三第二次調研考試(理數).doc

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?韶關市2012屆高三模擬考試數學試題數學試題(理科)本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項:1.答卷前,考生要務必填寫答題卷上密封線內的有關項目.   2.選擇題每小題選出答案后,用鉛筆把答案代號填在答題卷對應的空格內.  3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卷各題目指定區域內;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.請考生保持答題卷的整潔.考試結束后,將答題卷和答題卡交回.參考公式:錐體的體積公式,其中S為錐體的底面面積,為錐體的高.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若復數是純虛數,則實數的值是( )A. B.  C. D. 或2.已知集合R,Z,則( )A. (0,2) B. [0,2] C. {0,2} D. {0,1,2}3.設,則的大小關系是(C )A. B. C. D.4.一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為. 圖1A. B. C D. 5.設向量,,則下列結論正確的是 ( )A. B. C. ∥ D. 與垂直 6.執行如圖1所示的程序框圖后,輸出的值為,則的取值范圍( )A. B. C. D.7. 下列四個判斷:①某校高三一班和高三二班的人數分別是,某次測試數學平均分分別是,則這兩個班的數學平均分為;②名工人某天生產同一零件,生產的件數是設其平均數為,中位數為,眾數為,則有;③從總體中抽取的樣本,則回歸直線=必過點()④已知服從正態分布,,且,則 其中正確的個數有: ( )A.個 B. 個 C. 個 D.個8. 定義符號函數,設 ,,其中=, =, 若,則實數的取值范圍是(   )A.    B.   C.    D. 二、填空題:本大共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.(一)必做題(9~13題)9.. 已知是單位圓上的點,且點在第二象限,點是此圓與x軸正半軸的交點,記, 若點的縱坐標為.則_____________; _______________. 10.以拋物線的焦點為圓心,且被軸截得的弦長等于的圓的方程為__________________. 11.從如圖所示的長方形區域內任取一個點,則點取自陰影部分的概率為.12.已知滿足約束條件,則的最小值是_________.13.設,若不等式對任意實數恒成立,則取值集合是_______________________.(二)選做題(14~15題,考生只能從中選做一題)14.(幾何證明選講選做題)如圖,是圓的直徑,,,則 ;15.(坐標系與參數方程選做題)已知直線方程是為參數),,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓的極坐標方程為,則圓上的點到直線的距離最小值是 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16. (本小題滿分12分)已知等比數列的前項和為, ,且,,成等差數列.(1)求數列通項公式;(2)設,求數列前項和.17.(本小題滿分14分)有一個3×4×5的長方體, 它的六個面上均涂上顏色. 現將這個長方體鋸成60個1×1×1的小正方體,從這些小正方體中隨機地任取1個,設小正方體涂上顏色的面數為. (1)求的概率;(2)求的分布列和數學期望.18.(本小題滿分14分)ABDCMNOOABDCMN如圖5(1)中矩形中,已知,, 分別為和的中點,對角線與交于點,沿把矩形折起,使平面與平面所成角為,如圖5(2).(1)求證:;(2)求與平面所成角的正弦值.19.(本小題滿分12分)在中,三個內角,,的對邊分別為,,,其中, 且圖6(1)求證:是直角三角形;(2)如圖6,設圓過三點,點位于劣弧上,求面積最大值.20.(本小題滿分14分)在直角坐標系中,動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是,設動點的軌跡為,是動圓上一點.(1)求動點的軌跡的方程;(2)設曲線上的三點與點的距離成等差數列,若線段的垂直平分線與軸的交點為,求直線的斜率;(3)若直線與和動圓均只有一個公共點,求、兩點的距離的最大值.21.(本小題滿分14分)已知函數,當時,函數取得極大值.(1)求實數的值;(2)已知結論:若函數在區間內導數都存在,且,則存在,使得.試用這個結論證明:若,函數,則對任意,都有;(3)已知正數,滿足,求證:當,時,對任意大于,且互不相等的實數,都有.2012屆高考模擬測試數學試題(理科)參考答案和評分標準一.選擇題:CACBD ABB二填空題:9. (2分)(3分) 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.16.(本題滿分14分)解:(1)設數列的公比為,……………1分若,則,,,故,與已知矛盾,故,………………………………………………2分從而得,………………………………………………4分由,,成等差數列,得,即,解得……………………………………………5分所以.………………………………………………6分(2)由(1)得,,………………………………7分所以………………………………10分……………………………12分17.(本題滿分12分)(1)60個1×1×1的小正方體中,沒有涂上顏色的有6個, … (3分)(2)由(1)可知;;; … (7分)分布列0123p … (10分) E=0×+1×+2×+3×= …(12分)ABDCMNOOABDCMN18(本題滿分14分) 解:(1)由題設,M,N是矩形的邊AD和BC的中點,所以AMMN, BCMN, 折疊垂直關系不變,所以∠AMD 是平面與平面的平面角,依題意,所以∠AMD=60o,………………………………………………………………………2分由AM=DM,可知△MAD是正三角形,所以AD=,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,所以,BD=,由題可知BO=OD=,由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形,所以BO⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解(2)設E,F是BD,CD的中點,則EFCD, OFCD, 所以,CD面OEF, 又BO=OD,所以BD, 面ABCD, 面, 平面BOD⊥平面ABCD過A作AH⊥BD,由面面垂直的性質定理,可得AH⊥平面BOD,連結OH ,……………… 8分所以OH是AO在平面BOD的投影,所以∠AOH為所求的角,即AO與平面BOD所成角?!?1分ABDCMNOHAH是RT△ABD斜邊上的高,所以AH=,BO=OD=,所以sin∠AOH=(14分)方法二:空間向量:取MD,NC中點P,Q,如圖建系, … Q(0,0,0),B(,0,0),D(0,,2),O(0,,1)ABDCMNOPQ所以(,,1),(0,,所以0,即BO⊥DO(5分)(2)設平面BOD的法向量是,可得+=0=0,令可得所以又(,,,設AO與平面BOD所成角為=(14分)19.(本題滿分14分)(1)證明:由正弦定理得,…………………………………2分整理為,即 ………………………3分又因為∴或,即或……………6分∵, ∴舍去,故由可知,∴是直角三角形……………6分(2)由(1)及,得,, ……………7分設,則, ……………8分在中,  所以 ……………10分 ………………………12分因為所以,當,即時,最大值等于.…………………………………14分20.(本題滿分14分)解:(1)由已知,得,…………………………1分.將兩邊平方,并化簡得, …………………………3分.故軌跡的方程是。 ………………4分.(2)由已知可得,,,因為,所以,即得, ① …………………………5分.故線段的中點為,其垂直平分線方程為, ② …………………………6分.因為在橢圓上,故有,,兩式相減,得: ③將①代入③,化簡得, ④ ………………………7分.將④代入②,并令得,,即的坐標為?!?分.所以. ………………………9分.設、,直線的方程為因為既在橢圓上又在直線上,從而有將(1)代入(2)得 ………10分.由于直線與橢圓相切,故從而可得, (3)同理,由既在圓上又在直線上,可得, (4)……………………12分由(3)、(4)得, 所以 …………………………13分.即,當且僅當時取等號,故、兩點的距離的最大值. …………………………14分.21.(本題滿分14分)解:(1). 由,得,此時.當時,,函數在區間上單調遞增;當時,,函數在區間上單調遞減. 函數在處取得極大值,故.…………………………3分(2)令,………………4分則.函數在上可導,存在,使得.,當時,,單調遞增,;當時,,單調遞減,;故對任意,都有.…………………………8分(3)用數學歸納法證明.①當時,,且,,,由(Ⅱ)得,即,當時,結論成立. …………………………9分②假設當時結論成立,即當時,. 當時,設正數滿足,令,, 則,且. …………………………13分當時,結論也成立.綜上由①②,對任意,,結論恒成立. …………………………14分
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