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廣東省佛山市2016屆高考數學一模試卷(理科)(解析版).doc

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?2016年廣東省佛山市高考數學一模試卷(理科) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.復數z滿足z(l﹣i)=﹣1﹣i,則|z+1|=( ?。〢.0 B.1 C. D.22.已知U=R,函數y=ln(1﹣x)的定義域為M,集合N={x|x2﹣x<0}.則下列結論正確的是( ?。〢.M∩N=N B.M∩(?UN)=? C.M∪N=U D.M?(?UN)3.已知a,b都是實數,那么“>”是“lna>lnb”的( ?。〢.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設變量x,y滿足,則2x+3y的最大值為( ?。〢.20 B.35 C.45 D.555.己知x0=是函數f(x)=sin(2x+φ)的一個極大值點,則f(x)的一個單調遞減區間是( ?。〢.(,) B.(,) C.(,π) D.(,π)6.已知F1,F2分別是雙曲線C:﹣=1(a>0,b>0)的左右兩個焦點,若在雙曲線C上存在點P使∠F1PF2=90°,且滿足2∠PF1F2=∠PF2F1,那么雙曲線C的離心率為( ?。〢. +1 B.2 C. D.7.某學校10位同學組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負責.每次獻愛心活動均需該組織4位同學參加.假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發給4位同學,且所發信息都能收到.則甲冋學收到李老師或張老師所發活動通知信息的概率為( ?。〢. B. C. D.8.已知tanx=,則sin2(+x)=( ?。〢. B. C. D.9.執行如圖所示的程序框圖,輸出的z值為( ?。〢.3 B.4 C.5 D.610.某一簡單幾何體的三視圖如所示,該幾何體的外接球的表面積是( ?。〢.13π B.16π C.25π D.27π11.給出下列函數:①f(x)=xsinx;②f(x)=ex+x;③f(x)=ln(﹣x);?a>0,使f(x)dx=0的函數是( ?。〢.①② B.①③ C.②③ D.①②③12.設直線y=t與曲線C:y=x(x﹣3)2的三個交點分別為A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a<b<c.現給出如下結論:①abc的取值范圍是(0,4);②a2+b2+c2為定值;③c﹣a有最小值無最大值.其中正確結論的個數為( ?。〢.0 B.1 C.2 D.3 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.13.(﹣)5的展開式的常數項為     ?。ㄓ脭底肿鞔穑?4.已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4),若λ為實數,( +λ)⊥,則λ的值為     ?。?5.宋元時期杰出的數學家朱世杰在其數學巨著《四元玉鑒》卷中“茭草形段”第一個問題“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.問底子在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,M是BC的中點,BM=2,AM=c﹣b,△ABC面積的最大值為     ?。∪?、解答題:本大題共5小題,共70分,解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足an=3Sn﹣2(n∈N*).(1)求數列{an}的通項公式;(2)求數列{nan}的前n項和Tn.18.未來制造業對零件的精度要求越來越高.3D打印通常是采用數字技術材料打印機來實現的,常在模具制造、工業設計等領域被用于制造模型,后逐漸用于一些產品的直接制造,已經有使用這種技術打印而成的零部件.該技術應用十分廣泛,可以預計在未來會有廣闊的發展空間.某制造企業向A高校3D打印實驗團隊租用一臺3D打印設備,用于打印一批對內徑有較高精度要求的零件.該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件,從中隨機抽取10件零件,度量其內徑的莖葉圖如如圖所示(單位:μm).(Ⅰ) 計算平均值μ與標準差σ;(Ⅱ) 假設這臺3D打印設備打印出品的零件內徑Z服從正態分布N(μ,σ2),該團隊到工廠安裝調試后,試打了5個零件,度量其內徑分別為(單位:μm):86、95、103、109、118,試問此打印設備是否需要進一步調試,為什么?參考數據:P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.95443=0.87,0.99744=0.99,0.04562=0.002.19.如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面AA1C1C丄側面ABB1A1,AC=AA1=AB,∠AA1C1=60°,AB⊥AA1,H為棱CC1的中點,D在棱BB1上,且A1D丄平面AB1H.(Ⅰ)求證:D為BB1的中點;(Ⅱ)求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值.20.已知橢圓: +=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),且焦距為2,直線l交橢圓于E、F兩點(E、F與A點不重合),且滿足AE⊥AF.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)O為坐標原點,若點P滿足2=+,求直線AP的斜率的取值范圍.21.設常數λ>0,a>0,函數f(x)=﹣alnx.(1)當a=λ時,若f(x)最小值為0,求λ的值;(2)對任意給定的正實數λ,a,證明:存在實數x0,當x>x0時,f(x)>0. 選修4-1:幾何證明選講22.如圖,四邊形ABCD是圓內接四邊形,BA、CD的延長線交于點P,且AB=AD,BP=2BC(Ⅰ)求證:PD=2AB;(Ⅱ)當BC=2,PC=5時.求AB的長. 選修4-4:坐標系與參數方程選講23.已知直線l的方程為y=x+4,圓C的參數方程為(θ為參數),以原點為極點,x軸正半軸為極軸.建立極坐標系.(Ⅰ)求直線l與圓C的交點的極坐標;(Ⅱ)若P為圓C上的動點.求P到直線l的距離d的最大值. 選修4-5:不等式選講24.己知函數f(x)=|x﹣2|+a,g(x)=|x+4|,其中a∈R.(Ⅰ)解不等式f(x)<g(x)+a;(Ⅱ)任意x∈R,f(x)+g(x)>a2恒成立,求a的取值范圍. 2016年廣東省佛山市高考數學一模試卷(理科)參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.復數z滿足z(l﹣i)=﹣1﹣i,則|z+1|=( ?。〢.0 B.1 C. D.2【考點】復數求模.【專題】轉化思想;綜合法;數系的擴充和復數.【分析】根據復數的運算性質計算即可.【解答】解:∵z(l﹣i)=﹣1﹣i,∴z(1﹣i)(1+i)=﹣(1+i)2,∴2z=﹣2i,∴z=﹣i,∴z+1=1﹣i,則|z+1|=,故選:C.【點評】本題考查了復數的化簡與模的計算. 2.已知U=R,函數y=ln(1﹣x)的定義域為M,集合N={x|x2﹣x<0}.則下列結論正確的是( ?。〢.M∩N=N B.M∩(?UN)=。省略部分。A1DA的法向量為==(0,0,),則cos<,>===,即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是.【點評】本題主要考查空間直線和平面位置關系的判斷以及二面角的求解,建立坐標系,求出平面的法向量,利用向量法是解二面角的常用方法.綜合性較強,運算量較大. 20.已知橢圓: +=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),且焦距為2,直線l交橢圓于E、F兩點(E、F與A點不重合),且滿足AE⊥AF.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)O為坐標原點,若點P滿足2=+,求直線AP的斜率的取值范圍.【考點】橢圓的簡單性質.【專題】方程思想;分析法;平面向量及應用;直線與圓;圓錐曲線的定義、性質與方程.【分析】(Ⅰ)由題意可得a=2,c=1,由a,b,c的關系可得b,進而得到橢圓方程;(Ⅱ)設直線AE的方程為y=k(x﹣2),代入橢圓方程,運用韋達定理,可得E的坐標,由兩直線垂直可得F的坐標,再由直線的斜率公式,結合基本不等式即可得到斜率的最值,進而得到所求范圍.【解答】解:(Ⅰ)由題意可得a=2,2c=2,即c=1,b==,則橢圓的標準方程為+=1;(Ⅱ)設直線AE的方程為y=k(x﹣2),代入橢圓方程,可得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0,由2+xE=,可得xE=,yE=k(xE﹣2)=,由于AE⊥AF,只要將上式的k換為﹣,可得xF=,yF=,由2=+,可得P為EF的中點,即有P(,),則直線AP的斜率為t==,當k=0時,t=0;當k≠0時,t=,再令s=﹣k,可得t=,當s=0時,t=0;當s>0時,t=≤=,當且僅當4s=時,取得最大值;當s<0時,t=≥﹣,綜上可得直線AP的斜率的取值范圍是[﹣,].【點評】本題考查橢圓的方程的求法,考查直線和橢圓方程聯立,運用韋達定理,考查直線的斜率的取值范圍的求法,注意運用基本不等式,考查運算能力,屬于中檔題. 21.設常數λ>0,a>0,函數f(x)=﹣alnx.(1)當a=λ時,若f(x)最小值為0,求λ的值;(2)對任意給定的正實數λ,a,證明:存在實數x0,當x>x0時,f(x)>0.【考點】利用導數求閉區間上函數的最值;利用導數研究曲線上某點切線方程.【專題】綜合題;分類討論;轉化思想;分類法;導數的概念及應用.【分析】(1)當a=λ時,函數f(x)=﹣(x>0).f′(x)=,分別解出f′(x)>0,f′(x)<0,研究其單調性,即可得出最小值.(2)函數f(x)=x﹣﹣alnx>x﹣λ﹣alnx.令u(x)=x﹣λ﹣alnx.利用導數研究其單調性即可得出.【解答】(1)解:當a=λ時,函數f(x)=﹣alnx=﹣(x>0).f′(x)=﹣=,∵λ>0,x>0,∴4x2+9λx+3λ2>0,4x(λ+x)2>0.∴當x>λ時,f′(x)>0,此時函數f(x)單調遞增;當0<x<λ時,f′(x)<0,此時函數f(x)單調遞減.∴當x=λ時,函數f(x)取得極小值,即最小值,∴f((λ)==0,解得λ=.(2)證明:函數f(x)=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx>x﹣λ﹣alnx.令u(x)=x﹣λ﹣alnx.u′(x)=1﹣=,可知:當x>a時,u′(x)>0,函數u(x)單調遞增,x→+∞,u(x)→+∞.一定存在x0>0,使得當x>x0時,u(x0)>0,∴存在實數x0,當x>x0時,f(x)>u(x)>u(x0)>0.【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論方法、恒成立問題的等價轉化方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題. 選修4-1:幾何證明選講22.如圖,四邊形ABCD是圓內接四邊形,BA、CD的延長線交于點P,且AB=AD,BP=2BC(Ⅰ)求證:PD=2AB;(Ⅱ)當BC=2,PC=5時.求AB的長.【考點】與圓有關的比例線段.【專題】選作題;方程思想;綜合法;推理和證明.【分析】(Ⅰ)證明:△APD∽△CPB,利用AB=AD,BP=2BC,證明PD=2AB;(Ⅱ)利用割線定理求AB的長.【解答】(Ⅰ)證明:∵四邊形ABCD是圓內接四邊形,∴∠PAD=∠PCB,∴∠APD=∠CPB,∴△APD∽△CPB,∴=,∵BP=2BC∴PD=2AD,∴AB=AD,∴PD=2AB;(Ⅱ)解:由題意,BP=2BC=4,設AB=t,由割線定理得PD?PC=PA?PB,∴2t×5=(4﹣t)×4∴t=,即AB=.【點評】本題考查三角形相似的判斷,考查割線定理,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題. 選修4-4:坐標系與參數方程選講23.已知直線l的方程為y=x+4,圓C的參數方程為(θ為參數),以原點為極點,x軸正半軸為極軸.建立極坐標系.(Ⅰ)求直線l與圓C的交點的極坐標;(Ⅱ)若P為圓C上的動點.求P到直線l的距離d的最大值.【考點】參數方程化成普通方程.【專題】選作題;轉化思想;消元法;坐標系和參數方程.【分析】(I)由圓C的參數方程為(θ為參數),利用cos2θ+sin2θ=1化為普通方程,與直線方程聯立解得交點坐標,利用可得極坐標.(II)圓心(0,2)到直線l的距離為d1,可得P到直線l的距離d的最大值為d1+r.【解答】解:(I)由圓C的參數方程為(θ為參數),利用cos2θ+sin2θ=1化為:x2+(y﹣2)2=4,聯立,解得或.可得極坐標分別為:,.(II)圓心(0,2)到直線l的距離=,∴P到直線l的距離d的最大值為+r=+2.【點評】本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題. 選修4-5:不等式選講24.己知函數f(x)=|x﹣2|+a,g(x)=|x+4|,其中a∈R.(Ⅰ)解不等式f(x)<g(x)+a;(Ⅱ)任意x∈R,f(x)+g(x)>a2恒成立,求a的取值范圍.【考點】絕對值不等式的解法;絕對值三角不等式.【專題】函數思想;綜合法;函數的性質及應用.【分析】(Ⅰ)問題轉化為解不等式|x﹣2|<|x+4|,兩邊平方,解出即可;(Ⅱ)f(x)+g(x)>a2可化為a2﹣a<|x﹣2|+|x+4|,根據絕對值的性質,求出|x﹣2|+|x+4|的最小值,從而求出a的范圍.【解答】解:(Ⅰ)不等式f(x)<g(x)+a即|x﹣2|<|x+4|,兩邊平方得:x2﹣4x+4<x2+8x+16,解得:x>﹣1,∴原不等式的解集是(﹣1,+∞);(Ⅱ)f(x)+g(x)>a2可化為a2﹣a<|x﹣2|+|x+4|,又|x﹣2|+|x+4|≥|(x﹣2)﹣(x+4)|=6,∴a2﹣a<6,解得:﹣2<a<3,∴a的范圍是(﹣2,3).【點評】本題考察了解絕對值不等式問題,考察轉化思想,是一道基礎題. 
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試卷 2016 高考 數學 佛山市 理科 廣東省 解析
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