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廣東省廣州市2013屆高三調研測試數學理試題.doc

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? 試卷類型:A廣州市2013屆高三年級調研測試 數 學(理 科) 2013.1 本試卷共4頁,21小題, 滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項:1.答卷前,考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應位置上.2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.作答選做題時,請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點,再作答.漏涂、錯涂、多涂的,答案無效.5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后,將試卷和答題卡一并交回.一.選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知i為虛數單位,則復數ii對應的點位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知集合,集合,則 A. B. C. D.3.已知函數, 則的值是 A. B. C. D. 4.設向量,,則“”是“//”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.函數的圖象向右平移單位后與函數的圖象重合,則的解析式是 A. B. C. D.6.已知四棱錐的三視圖如圖1所示,則四棱錐的四個側面中面積最大的是A. B. C. D.7.在區間和分別取一個數,記為, 則方程表示焦點在軸上且離心率小于的橢圓的概率為 A. B. C. D. 8.在R上定義運算若對任意,不等式都成立,則實數的取值范圍是 A. B. C. D.二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.開始輸出結束圖2是否(一)必做題(9~13題)9. 已知等差數列的前項和為,若,則的值為 .10.若的展開式的常數項為84,則的值為 .11.若直線是曲線的切線,則實數的值為 . 12.圓上到直線的距離為的點的個數是 _ .13.圖2是一個算法的流程圖,則輸出的值是 .(二)選做題(14~15題,考生只能從中選做一題)14.(幾何證明選講選做題) 如圖3,已知是⊙的一條弦,點為上一點,,交⊙于,若,,則的長是 15.(坐標系與參數方程選講選做題)已知圓的參數方程為為參數), 以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為, 則直線截圓所得的弦長是 .三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.(本小題滿分12分)已知的內角的對邊分別是,且.(1) 求的值; (2) 求的值. 17.(本小題滿分12分)某市四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數如下表所示:中學人數 為了了解參加考試的學生的學習狀況,該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四所中學的學生當中隨機抽取50名參加問卷調查.(1)問四所中學各抽取多少名學生?(2)從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生,求這兩名學生來自同一所中學的概率;(3)在參加問卷調查的名學生中,從來自兩所中學的學生當中隨機抽取兩名學生,用表示抽得中學的學生人數,求的分布列.18. (本小題滿分14分)如圖4,已知四棱錐,底面是正方形,面,點是的中點,點是的中點,連接,.(1) 求證:面;(2)若,,求二面角的余弦值.19.(本小題滿分14分)如圖5, 已知拋物線,直線與拋物線交于兩點,,,與交于點.(1) 求點的軌跡方程;(2) 求四邊形的面積的最小值. 圖520.(本小題滿分14分) 在數和之間插入個實數,使得這個數構成遞增的等比數列,將這個數的乘積記為,令,N.(1)求數列的前項和;(2)求.21.(本小題滿分14分)若函數對任意的實數,,均有,則稱函數是區間上的“平緩函數”. (1) 判斷和是不是實數集R上的“平緩函數”,并說明理由;(2) 若數列對所有的正整數都有 ,設, 求證: .廣州市2013屆高三年級調研測試 數學(理科)試題解析 2013-1-9一、選擇題1. A分析:,其對應的點為,位于第一象限2. D分析:,,3. B分析:,4. A分析:當時,有,解得; 所以,但,故“”是“”的充分不必要條件5. B分析:逆推法,將的圖象向左平移個單位即得的圖象,即6. C分析:三棱錐如圖所示,, , ,7. B分析:方程表示焦點在軸且離心率小于的橢圓時,有 ,即,化簡得,又,,畫出滿足不等式組的平面區域,如右圖陰影部分所示,求得陰影部分的面積為,故8. C分析:由題意得,故不等式化為, 化簡得, 故原題等價于在上恒成立,由二次函數圖象,其對稱軸為,討論得 或 ,解得 或 ,綜上可得二、填空題9.分析:方法一、(基本量法)由得,即 ,化簡得,故方法二、等差數列中由可將化為,即,故10. 分析:,令,得其常數項為,即,解得11.分析:設切點為 ,由得,故切線方程為,整理得,與比較得,解得,故12. 分析:圓方程化為標準式為,其圓心坐標,半徑,由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離,由右圖所示,圓上到直線的距離為的點有4個.13.分析:由題意,,,,,,,,…, , , ;以上共503行,輸出的14.。省略部分。及推理論證能力、運算求解能力、創新意識)解法一:(1)解:設, ∵, ∴是線段的中點. …………… 2分 ∴,① …………… 3分 . ② …………… 4分 ∵, ∴. ∴. …………… 5分 依題意知, ∴. ③ …………… 6分把②、③代入①得:,即. …………… 7分∴點的軌跡方程為. …………… 8分 (2)解:依題意得四邊形是矩形, ∴四邊形的面積為 …………… 9分 . …………… 11分∵,當且僅當時,等號成立, …………… 12分∴. …………… 13分∴四邊形的面積的最小值為. …………… 14分解法二:(1)解:依題意,知直線的斜率存在,設直線的斜率為, 由于,則直線的斜率為. …………… 1分 故直線的方程為,直線的方程為. 由 消去,得. 解得或. …………… 2分 ∴點的坐標為. …………… 3分 同理得點的坐標為. …………… 4分 ∵, ∴是線段的中點. …………… 5分 設點的坐標為, 則 …………… 6分 消去,得. …………… 7分∴點的軌跡方程為. …………… 8分(2)解:依題意得四邊形是矩形, ∴四邊形的面積為 …………… 9分 …………… 10分 …………… 11分 . …………… 12分當且僅當,即時,等號成立. …………… 13分∴四邊形的面積的最小值為. …………… 14分20. (本小題滿分14分)(本小題主要考查等比數列的通項公式、數列的前項和等基礎知識,考查合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數學思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力)(1)解法1:設構成等比數列,其中,依題意,, ① …………… 1分 , ② …………… 2分由于, …………… 3分①②得.…………… 4分∵,∴. …………… 5分∵, …………… 6分∴數列是首項為,公比為的等比數列. …………… 7分∴. …………… 8分解法2: 設構成等比數列,其中,公比為, 則,即. …………… 1分 依題意,得 …………… 2分 …………… 3分 …………… 4分 . …………… 5分∵, …………… 6分∴數列是首項為,公比為的等比數列. …………… 7分∴. …………… 8分(2)解: 由(1)得, …………… 9分∵, ……………10分∴,N. ……………11分∴. …………… 14分21.(本小題滿分14分)(本小題主要考查函數、絕對值不等式等基礎知識,考查函數與方程、分類與整合、化歸與轉化的數學思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創新意識)(1) 解:是R上的“平緩函數”,但不是區間R的“平緩函數”;設,則,則是實數集R上的增函數,不妨設,則,即, 則. ① …………… 1分又也是R上的增函數,則, 即, ② …………… 2分由①、②得 . 因此,,對都成立. …………… 3分當時,同理有成立又當時,不等式,故對任意的實數,R,均有.因此 是R上的“平緩函數”. …………… 5分由于 …………… 6分取,,則, …………… 7分因此, 不是區間R的“平緩函數”. …………… 8分(2)證明:由(1)得:是R上的“平緩函數”,則, 所以 . …………… 9分而,∴ . …………… 10分∵,……… 11分∴. …………… 12分∴ …………… 13分 . …………… 14分
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