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廣東揭陽市2011屆高三上學期學業水平考試數學理.doc

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?整理日期整理人2011年2月24日星期四小セ廣東揭陽市2010—2011學年度高三上學期學業水平考試數 學 試 題(理)本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時l20分鐘.注意事項:1.答卷前,考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆在答題卷的選擇題答題區上將對應題目選項的答案信息點涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卷各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液,不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔,考試結束后,將試卷和答題卷一并交回.參考公式:球的體積公式,其中表示球的半徑.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則 ( ) A. B. C. D.2.已知復數z滿足,則z為 ( ) A. B. C. D.3.已知冪函數的圖象過點,則的值為 ( ) A. B.- C.2 D.-24.直線經過橢圓的一個焦點和一個頂點,則該橢圓的離心率為. ( ) A. B. C. D.5.已知則. ( ) A. B. C. D. 6.定積分的值為. ( ) A. B. C. D.7.若()且,則展開式的各項中系數的最大值為 ( ) A.15 B.20 C.56 D.708.從一個正方體的8個頂點中任取3個,則以這3個點為頂點構成直角三角形的概率為( ) A. B. C. D.二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.(一)必做題(9-13題)9.命題P:“”的否定為: 、的真假為 .10.某路口的機動車隔離墩的三視圖如下圖所示,其中正視圖、側視圖都是由半圓和矩形組成,根據圖中標出的尺寸(單位:cm)可求得隔離墩的體積為 .S=0,K=111.如果執行上面的框圖,輸入,則輸出的數S= .12.不論k為何實數,直線恒過的定點坐標為 、若該直線與圓恒有交點,則實數a的取值范圍是 .13.已知,,根據以上等式,可猜想出的一般結論是 .(二)選做題(14、15題,考生只能從中選做一題)14.(坐標系與參數方程選做題)已知曲線C的參數方程為(為參數),則過曲線C上橫坐標為1的點的切線方程為 .15.(幾何證明選講選做題) 已知圓的半徑為,從圓外一點引切線和割線,圓心到的距離為,,則切線的長為 .三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.(本題滿分12分)已知函數, .(1)求函數的最大值和最小值;(2)設函數在上的圖象與軸的交點從左到右分別為M、N,圖象的最高點為P,求與的夾角的余弦.17.(本題滿分14分)為了解高中一年級學生身高情況,某校按10%的比例對全校700名高中一年級學生按性別進行抽樣檢查,測得身高頻數分布表如下表1、表2.表1:男生身高頻數分布表表2:女生身高頻數分布表(1)求該校男生的人數并完成下面頻率分布直方圖;(2)估計該校學生身高(單位:cm)在的概率;(3)在男生樣本中,從身高(單位:cm)在的男生中任選3人,設表示所選3人中身高(單位:cm)在的人數,求的分布列和數學期望.18.(本題滿分12分)已知橢圓:的長軸長是短軸長的倍,,是它的左,右焦點.(1)若,且,,求、的坐標;(2)在(1)的條件下,過動點作以為圓心、以1為半徑的圓的切線(是切點),且使,求動點的軌跡方程.19.(本題滿分14分)如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知,,現將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如圖乙),設點E、F分別為棱AC、AD的中點.(1)求證:DC平面ABC;(2)求BF與平面ABC所成角的正弦;(3)求二面角B-EF-A的余弦.圖乙圖甲在20.(本題滿分14分)在數列中,已知.(1)求數列的通項公式;(2)求數列的前項和.21.(本題滿分14分)設函數.(1)若,求函數的極值;(2)若,試確定的單調性;(3)記,且在上的最大值為M,證明:.參考答案一、本解答給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則.二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時,如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度,可視影響的程度決定給分,但不得超過該部分正確解答應得分數的一半;如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.三、解答右端所注分數,表示考生正確做到這一步應得的累加分數.四、只給整數分數.一、選擇題:BDAA CCBD解析:2.,選 D.3.由冪函數的圖象過點得,故選 A.4.直線與坐標軸的交點為(-2,0),(0,1),依題意得,選 A.5.,選 C.6.由定積分的幾何意義知是由曲線,直線圍成的封閉圖形的面積,故=,選 C.7.由得,故各項中系數的最大值為,選 B.8.解法1:從正方體的8個頂點中任取3個有種取法,可構成的三角形有56種可能,正方體有6個表面和6個對角面,它們都是矩形(包括正方形),每一個矩形中的任意3個頂點可構成4個直角三角形,共有個直角三角形,故所求的概率:,選 D.解法2:從正方體的8個頂點中任取3個有種取法,可構成的三角形有56種可能,所有可能的三角形分為直角三角形和正三角形兩類,其中正三角形有8種可能(每一個頂點對應一個),故所求的概率:,選 D.二、填空題:9.、真;10.;11.;12.(0,1)、;13.,.14.;15..10.該幾何體為圓柱上面疊一半球,其體積11.根據框圖所體現的算法可知此算法為求和:.12.題設條件等價于點(0,1)在圓內或圓上,等價于點(0,1)到圓的圓心的距離不超過半徑,解得.14.曲線C普通方程為,則切點坐標為,由得切線斜率,故所求的切線方程。省略部分。18.解:(1)依題意知-----------------①----------------------------------------1分 ∵ ∴, ∴-------2分 又,由橢圓定義可知, ------②---4分由①②得.∴、-------------------------6分(2)由已知,即∵是的切線 ∴-------8分∴---------------------------------------9分設,則即(或)--------------------------------------------11分綜上所述,所求動點Q的軌跡方程為:-------------------------------12分19.(1)證明:在圖甲中∵且 ∴ ,即--------------------------------------------------------------------------------------2分在圖乙中,∵平面ABD平面BDC , 且平面ABD平面BDC=BD∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥C D.------------------------------------------4分又,∴DC⊥BC,且∴DC平面AB C.-----------------------------------------------------5分(2)解法1:∵E、F分別為AC、AD的中點∴EF//CD,又由(1)知,DC平面ABC,∴EF⊥平面ABC,垂足為點E∴∠FBE是BF與平面ABC所成的角-------------------------------------7分在圖甲中,∵, ∴,設則,,-9分∴在Rt△FEB中,即BF與平面ABC所成角的正弦值為.---------------------------------10分解法2:如圖,以B為坐標原點,BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如下圖示,設,則,----------------6分可得,,,,∴,-------------8分設BF與平面ABC所成的角為由(1)知DC平面ABC∴∴------------------------------------------------------10分(3)由(2)知 FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC,AE平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE,∴∠AEB為二面角B-EF-A的平面角----------------------------------------------12分在△AEB中,∴即所求二面角B-EF-A的余弦為.-------------------14分 (其他解法請參照給分)20.解:(1)解法1:由可得,------------------------------3分∴數列是首項為,公差為1等差數列,∴, -------------------------------------------------------------------------------6分∴數列的通項公式為.-------------------------------------------------7分解法2:由可得-------------------------------------------------------------------------2分令,則--------------------------------------------------------------3分∴當時----5分∴-------------------------------------------------------------------------------------6分∴------------------------------------------------7分解法3:∵,---------------------------------------------------------------1分,--------------------------------------------------------2分.----------------------------------------------------3分由此可猜想出數列的通項公式為.---------------------------------------4分以下用數學歸納法證明.①當時,,等式成立.②假設當()時等式成立,即,那么.----------------------------------------------------------------------6分這就是說,當時等式也成立.根據①和②可知,等式對任何都成立.-----------------------------------------------------------------7分(2)令,----------①--------------8分  -----------------②------9分①式減去②式得:,-----------------10分∴.--------------------------------12分∴數列的前項和.------14分21.解:(1)若,則有令得,-------------------------------------------1分∵當時,當時,當時,∴當時,函數有極大值,,--------------------2分當時,函數有極小值, -------------------------3分(2)∵ 即 又∴=--------------------------------5分當即時,∴函數在上單調遞增;---------------------------------------6分當,即時,由得或,由得;-----------------------------------------------------------7分當,即時,由得或,由得;-------------------------------------------------8分綜上得:當時,函數在上單調遞增;當時,函數在和上單調遞增,在上單調遞減-9分當時,函數在和上單調遞增,在上單調遞減.---10分(3)根據題意=,∵在上的最大值為M,∴即 --------------------------------------12分2=∴ ---------------------------------------------14分(其它解法請參照給分)
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