一元二次方程綜合講義.doc

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?《一元二次方程》專題講練專題一:一元二方程的有關概念1.考點分析中考對本節內容的考查重點是列出一元二次方程,對于一元二次方程的定義及一般形式的考查多以填空、選擇等題型出現,該節內容多與實數運算、代數式的變形、函數等內容聯系起來出題,方程知識是中考命題的熱點2.典例剖析例1.下列方程中,關于的一元二次方程是( ?。粒?B.C. D.針對練習 1.方程是關于的一元二次方程,則( ?。粒?B. C. D.2.關于的一元二次方程的一個根為,則的值為( ?。粒?B. C.或 D.例2.(1)(2009年濰坊市)關于的一元二次方程的一個根為1,則實數的值是( )A. B.或 C. D.(2)(2010年株洲市)(本小題6分)已知x=1是一元二次方程的一個解,且,求的值.專練一: 1.(2011年樂山市)已知是關于的方程的一個根,則_______.2. (2009年眉山市)關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實數根分別為1和2,則b=______;c=______.3.(2011年成都市)已知是一元二次方程的實數根,那么代數式的值為 .專題二:一元二方程的有關解法1.考點分析本部分重點考查一元二次方程的四種基本解法,其中的配方法、因式分解法也是中學數學中的重要思想方法,今后在學習二次函數時還有很多用處,直接開平方法單獨出題較少,公式法是解一元二次方程的最一般的方法,這四種方法單獨考查以填空題、選擇題為主,綜合考查多以公式法解方程與列方程解應用題、函數等知識為背景進行考查2.典例剖析例1.(2010年湖州市)方程的解是( ?。粒?B.C., D.,例2.(2009年武漢市)解方程:(1)x2-4x-32=0 (2)2(2x-3)2-3(2x-3)=0點評:以上兩例重點考查學生對一元二方程的解法的理解和掌握,在一元二次方程的四種方法中,優先選取順序依次為:直接開平方法 分解因式法 公式法 配方法.例3:用配方法解下列方程:(1)x2-5x+6=0 (2)8x2-2=4x例4.用配方法解方程例5.已知一元二次方程,你可以用幾種方法來解這個方程?專練二:1. (2011年溫州市) 方程的解是    .2.(2011年浙江省寧波市)方程x2+2x=0的解為 3.(2010年巴中市)三角形一邊長為,另兩邊長是方程的兩實根,則這是一個 三角形.4.解方程:(1)4(x+1)2=9. (2)4x2+4x+1=0. (3)x(2x+7)=3(2x+7). (4)(x+1)(x+3)=15. (5)(y-1)2+2y(y-1)=0. (6)(2y+1)2-3(2y+1)+2=0. (7)(4x-3)2=(3x-4)2. (8)mx2-(m-n)x-n=0 (m≠0).專題三:一元二次方程根與系數的關系1.考點分析①:反映了一元二次方程根與系數之間的關系,當>0時,方程有兩個不相等的實數根;當=0時,方程有兩個相等的實數根;當<0時,方程無實數根;②補充:如果設、是方程(a≠0)的兩個實數根,那么+=;=;這部分內容以填空題、選擇題為主。2.典例剖析例1.(2011年巴中市)一元二次方程的根的情況為( ?。粒袃蓚€相等的實數根 B.有兩個不相等的實數根C.只有一個實數根 D.沒有實數根例2.(2009年蕪湖市)已知是一元二次方程的一個根,則方程的另一個根是 . 例3.關于的方程有兩個不相等的實數根,求的取值范圍.專練三:1.(2009年眉山市)一元二次方程x2+x+2=0的根的情況是 A.有兩個不相等的正根 B.有兩個不相等的負根 C.沒有實數根 D.有兩個相等的實數根2.(2011年盧州市)若關于x的一元二次方程沒有實數根,則實數m的取值是 A. B. C. D.3.(2010年蕪湖市)已知關于x 的一元二次方程 有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍是( ) A. m>-1 B. m<-2 C.m ≥0 D.m<04. (2009年資陽市)若x為任意實數時,二次三項式的值都不小于0,則常數c滿足的條件是( )A. ≥0 B. c≥9 C. c>0 D. c>95.關于x的方程2kx2-8x+6-x2=0無實數根,求k的最小整數值.6.求證:不論m為任何實數,關于x的方程x2-2mx+6m-10=0總有兩個不相等的實數根.7.設a、b、c是ΔABC的三邊的長,且關于x的方程(c-b)x2+2(b-a)x+a-b=0有兩個相等的實數根,試判定ΔABC的形狀.①  不解一元二次方程,判斷根的情況。例1.  不解方程,判斷下列方程的根的情況:(1)2x2+3x-4=0  (2)ax2+bx=0(a≠0)②  根據方程根的情況,確定待定系數的取值范圍。例2.k的何值時?關于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有兩個不相等的實數根;(2)有兩個相等的實數根;(3)沒有實數根;例3.(2009成都)若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根,則的取值范圍是什么?③  證明字母系數方程有實數根或無實數根。例4.求證方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0沒有實數根。④  應用根的判別式判斷三角形的形狀。 例5.(2009年黃石市)三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程的根,則該三角形的周長為( )A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不對例6.( 重慶市江津區)已知a、b、c分別是△ABC的三邊,其中a=1,c=4,且關于x的方程有兩個相等的實數根,試判斷△ABC的形狀。例7.已知:a、b、c為ΔABC的三邊,當m>0時,關于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有兩個相等的實數根。求證ΔABC為RtΔ。⑤  判別式的綜合應用例8.(11年濰坊)關于的方程有實數根,則整數的最大值是( )A.6 B.7 C.8 D.9例9.(一模東城23)已知:關于的一元二次方程(1)若求證:方程有兩個不相等的實數根;(2)若12<m<40的整數,且方程有兩個整數根,求的值.例10.(09一模密云縣23) 關于x的方程至少有一個整數解,且a是整數,求a的值.專題四:一元二方程的有關應用一、增長率問題 例1 恒利商廈九月份的銷售額為200萬元,十月份的銷售額下降了20%,商廈從十一月份起加強管理,改善經營,使銷售額穩步上升,十二月份的銷售額達到了193.6萬元,求這兩個月的平均增長率.二、利潤問題 例2 益群精品店以每件21元的價格購進一批商品,該商品可以自行定價,若每件商品售價a元,則可賣出(350-10a)件,但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%,商店計劃要盈利400元,需要進貨多少件?每件商品應定價多少?針對練習:某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每天盈利40元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施.經調查發現,如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件.若商場平均每天要盈利1200元,每件襯衫應降價多少元?三.等積變形 例3 將一塊長18米,寬15米的矩形荒地修建成一個花園(陰影部分)所占的面積為原來荒地面積的三分之二.(精確到0.1m)(1)設計方案1(如圖2)花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.(2)設計方案2(如圖3)花園中每個角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能,請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑;若不能符合條件,請說明理由.圖2圖4圖3四、動態幾何問題例4 如圖4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,點P從點A出發沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動,點Q從C點出發沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動.(1)如果P、Q同時出發,幾秒鐘后,可使△PCQ的面積為8平方厘米?圖7KG(2)點P、Q在移動過程中,是否存在某一時刻,使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半.若存在,求出運動的時間;若不存在,說明理由.5
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