一輪復習課件--平面向量.ppt

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第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第一節 平面向量的概念及其線性運算第二節 平面向量基本定理及坐標表示第三節 平面向量的數量積及平面向量的應用第四節 數系的擴充與復數的引入專家講壇[備考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.了解向量的實際背景.2.理解平面向量的概念,理解兩個向量相等 的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾 何意義.5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義,理解 兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.主要考查平面向量的有關概念及對線性運算、共線向量定理的理解和應用,如2012年高考T9.[歸納 知識整合]1.向量的有關概念名稱定義向量既有 又有 的量叫做向量,向量的大小也就是向量的 (或稱 )零向量 的向量叫做零向量,其方向是 的,零向量記作 ___單位向量長度等于 個單位的向量平行向量方向相同或 的 向量叫做平行向量,平行向量又叫 向量.規定: 與任一向量_____相等向量長度 且方向 的向量相反向量長度 且方向 的向量大小方向長度模長度為0任意1相反非零共線平行相等相同相等相反00 [探究] 1.兩向量共線與平行是兩個不同的概念嗎?兩向量共線是指兩向量的方向一致嗎? 提示:方向相同或相反的一組非零向量,叫做平行向量,又叫共線向量,是同一個概念.顯然兩向量平行或共線,其方向可能相同,也可能相反. 2.兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同? 提示:平行向量也叫共線向量,這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同,兩向量平行時,兩向量可以在同一條直線上.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律:a+b=(2)結合律:(a+b)+c=減法求a與b的相反向量-b的和的運算叫做a與b的差a-b=a+(-b)b+aa+(b+c)向量運算定義法則(或幾何意義)運算律數乘求實數λ與向量a的積的運算(1)|λa|= ______(2)當λ>0時,λa與a的方向 ;當λ<0時,λa與a的方向 ;當λ=0時,λa= __λ(μ a)= ______(λ+μ)a= _________λ(a+b)= _________相同相反0(λ μ) a λa+μ a λa+λb|λ||a| [探究] 3.λ=0與a=0時,λa的值是否相等? 提示:相等,且均為0. 4.若|a+b|=|a-b|,你能給出以a,b為鄰邊的平行四邊形的形狀嗎? 提示:如圖,說明平行四邊形的兩條對角線長度相等,故四邊形是矩形. 3.共線向量定理 如果有一個實數λ,使 ,那么b與a是共線向量,反之,如果b與a(a≠0)是共線向量,那么有且只有一個實數λ,使 .b=λa(a≠0)b=λa [探究] 5.當兩個非零向量a,b共線時,一定有b=λa,反之成立嗎? 提示:成立.[自測 牛刀小試]1.下列說法中正確的是________(填序號).①只有方向相同或相反的向量是平行向量②零向量的長度為零③長度相等的兩個向量是相等向量④共線向量是在一條直線上的向量解析:由于零向量與任意向量平行,故①錯誤;長度相等且方向相同的兩個向量是相等向量,故③錯誤;方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量,故④錯誤.答案:② 3.如圖,e1,e2為互相垂直的單位向量,則向量a-b可表示為________(用e1,e2表示).解析:連結a,b的終點,并指向a的終點的向量是a-b,故應為e1-3e2.答案:e1-3e2向量的概念[答案]?、冖劢鉀Q平面向量概念辨析題的方法 解決與向量概念有關題目的關鍵是突出向量的核心——方向和長度,如:共線向量的核心是方向相同或相反,長度沒有限制;相等向量的核心是方向相同且長度相等;單位向量的核心是方向沒有限制,但長度都是一個單位長度;零向量的核心是方向沒有限制,長度是0;規定零向量與任意向量共線.只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關的問題. 1.設a0為單位向量,①若a為平面內的某個向量,則a=|a|a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.上述命題中,假命題的個數是______.解析:向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個數是3.答案:3向量的線性運算平面向量線性運算的一般規律(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功,除利用向量的加法、減法、數乘運算外,還應充分利用平面幾何的一些定理.(2)在求向量時,要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中,運用平行四邊形法則、三角形法則,利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質,把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解. 共線向量定理的應用 (1)用平行四邊形法則進行向量加法和減法運算時,需將向量平移至共起點; (2)作兩個向量的差時,要注意向量的方向是指向被減向量的終點; (3)在向量共線的重要條件中要注意“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無數個; (4)要注意向量共線與三點共線的區別與聯系. 創新交匯——以平面向量為背景的新定義問題 1.從近幾年新課標省份的高考可以看出,高考以新定義的形式考查向量的概念及線性運算的頻率較大,且常與平面幾何、解析幾何、充要條件等知識交匯,具有考查形式靈活,題材新穎,解法多樣等特點. 2.解決此類問題,首先需要分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質弄清楚,通過轉化思想解決,這是破解新定義信息題難點的關鍵所在.[答案]?、?1.本題具有以下創新點 (1)命題背景新穎:本題為新定義題目,用新定義考查考生閱讀能力與知識遷移能力. (2)考查知識新穎:本題把坐標系、向量、點與線段的位置關系通過新定義有機結合在一起,能較好地考查學生的閱讀理解能力和解決問題的能力.1.定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq。省略部分。錯.綜上可知①②⑥正確.答案:①②⑥2.(2013·江蘇誠賢中學質檢)已知向量a=(x,3),b=(2,1),若a與b的夾角為銳角,則實數x的取值范圍是____.[備考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.理解復數的基本概念,理解 復數相等的充要條件.2.了解復數的代數表示法和幾 何意義,會進行復數代數形 式的四則運算.3.了解復數代數形式的加、減 運算的幾何意義.以填空題的形式考查復數的概念及代數運算,特別是除法運算,如2012年高考T3,2011年高考T3,2010年高考T2等.[歸納 知識整合]1.復數的有關概念內容意義備注復數的概念 設a,b都是實數,形如 的數叫復數,其中實部為 ,虛部為 ,i叫做虛數單位若 ,則a+bi是實數,若b≠0,則a+bi是虛數,若 ,則a+bi是純虛數復數相等a+bi=c+di? (a,b,c,d∈R)共軛復數a+bi與c+di共軛? (a,b,c,d∈R)a+biabb=0a=0且b≠0a=c且b=da=c且b=-d實軸虛軸 [探究] 1.復數a+bi(a,b∈R)為純虛數的充要條件是a=0嗎? 提示:不是,a=0是a+bi(a,b∈R)為純虛數的必要條件,只有當a=0,且b≠0時,a+bi才為純虛數. 2.復數的幾何意義 復數z=a+bi與復平面內的點 與平面向量 (a,b∈R)是一一對應的關系.Z(a,b)(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i (2)復數的加法的運算定律 復數的加法滿足交換律、結合律,即對任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= . (3)復數的乘法的運算定律 復數的乘法滿足交換律、結合律、分配律,即對于任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.z1+(z2+z3)z2+z1 [探究] 2.z1、z2是復數,z1-z2>0,那么z1>z2,這個命題是真命題嗎? 提示:假命題.例如:z1=1+i,z2=-2+i,z1-z2=3>0,但z1>z2無意義,因為虛數無大小概念.[自測 牛刀小試]1.(教材習題改編)復數z=(2-i)i在復平面內對應的點位于第____________象限.解析: z=(2-i)i=2i-i2=1+2i故復數z=(2-i)i在復平面內對應的點為(1,2),位于第一象限.答案:一答案:-i3.(2012·安徽高考)復數z滿足(z-i)i=2+i,則z=_____.解析:設z=a+bi,則(z-i)i=-b+1+ai=2+i,由復數相等的概念可知,-b+1=2,a=1,所以a=1, b=-1.答案:1-i答案:1復數的有關概念[答案] (1)2 (2)0解決復數概念問題的方法及注意事項 (1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題,只需把復數化為代數形式,列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可. (2)解題時一定要先看復數是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實部和虛部. 復數的幾何意義————— ————————————復數所對應點的坐標的特點 (1)實數、純虛數的對應點分別在實軸和虛軸上. (2)若實部為正且虛部為正,則復數對應點在第一象限; (3)若實部為負且虛部為正,則復數對應點在第二象限; (4)若實部為負且虛部為負,則復數對應點在第三象限; (5)若實部為正且虛部為負,則復數對應點在第四象限. (6)此外,若復數的對應點在某些曲線上,還可寫出代數形式的一般表達式.如:若復數z的對應點在直線x=1上,則z=1+bi(b∈R);若復數z的對應點在直線y=x上,則z=a+ai(a∈R),這在利用復數的代數形式解題中能起到簡化作用.2.復數z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復平面內對應的點分別為A,B,C,若∠BAC是鈍角,求實數c的取值范圍.復數的運算[答案] (1)3+5i (2)8復數的代數運算技巧 復數的四則運算類似于多項式的四則運算,此時含有虛數單位i的看作一類,不含i的看作另一類,分別合并即可,但要注意把i的冪寫成最簡單的形式,在運算過程中,要熟悉i的特點及熟練應用運算技巧.3.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).設z=z1-z2,且z=13-2i,求z1,z2. (1)設z=a+bi(a,b∈R),利用復數相等和相關性質將復數問題實數化是解決復數問題的常用方法. (2)在復數代數形式的四則運算中,加、減、乘運算按多項式運算法則進行,除法則需分母實數化.創新交匯——復數命題新動向 1.復數多以客觀題的形式考查復數的概念及運算,也經常將復數的基本概念與基本運算相結合,復數冪的運算與復數除法相結合,復數的基本運算與復數的幾何意義相結合,復數與方程相結合,復數與集合相結合等形成交匯命題. 2.解決此類問題的關鍵是把握復數的有關概念,根據復數的運算法則準確進行化簡運算.[答案]  [0,1)答案:-2 3答案:21.若復數z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數,則實數x=____.解析:由復數的概念,若復數z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數,則x2-1=0,且x-1≠0,解得x=-1.答案: -1答案:3-i4.設平行四邊形ABCD在復平面內,A為原點,B、D兩點對應的復數分別是3+2i和2-4i,則點C對應的復數是________.答案:5-2i平面向量中的三角形“四心”問題 在三角形中,“四心”是一組特殊的點,它們的向量表達形式具有許多重要的性質,在近年高考試題中,總會出現一些新穎別致的問題,不僅考查了向量等知識點,而且培養了考生分析問題、解決問題的能力.現就“四心”作如下介紹:1.“四心”的概念與性質[答案] 重[點評] 探求動點軌跡經過某點,只要確定其軌跡與三角形中的哪些特殊線段所在直線重合,這可從已知等式出發,利用向量的線性運算法則進行運算得之. [例3] 求證:△ABC的垂心H、重心G、外心O三點共線,且|HG|=2|GO|.[答案] 1
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