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平行四邊形性質提高練習及答案.docx

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? 平行四邊形性質提高練習及答案1如圖,□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F,連接EC.(1)求證:OE=OF;(2)若EF⊥AC,△BEC的周長是10,求□ABCD的周長.2.在面積為15的□ABCD中,過點A作AE垂直于直線BC于點E,作AF垂直于直線CD于點F,若AB=5,BC=6,求CE+CF的值3如圖,□ABCD中,點E、F分別在AD、AB上,依次連接EB、EC、FC、FD,圖中陰影部分的面積分別為S、S、S、S,已知S=2、S=12、S=3,求S的值4如圖,□ABCD中,M是BC的中點,且AM=9,BD=12,AD=10,求ABCD的面積.5.如圖,在?ABCD中,E、F分別為邊AD、BC的中點,對角線AC分別交BE,DF于點G、H.求證:AG=CH.6如圖,E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、CD上的點,AF與DE相交于點P,BF與CE相交于點Q,若S△APD=15cm2,S△BQC=25cm2,求陰影部分的面積.7如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,連接BM,MN,BN.(1)求證:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的長.8在□ABCD中,∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F,連接AC.(1)如圖1,若∠ADC=90°,G是EF的中點,連接AG、CG.①求證:BE=BF.②請判斷△AGC的形狀,并說明理由;(2)如圖2,若∠ADC=60°,將線段FB繞點F順時針旋轉60°至FG,連接AG、CG.那么△AGC又是怎樣的形狀.(直接寫出結論不必證明) 答 案1如圖,□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F,連接EC.(1)求證:OE=OF;(2)若EF⊥AC,△BEC的周長是10,求□ABCD的周長.【考點】平行四邊形的性質.【分析】根據平行四邊形的性質得出OD=OB,DC∥AB,推出∠FDO=∠EBO,證出△DFO≌△BEO即可;(2)由平行四邊形的性質得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由線段垂直平分線的性質得出AE=CE,由已知條件得出BC+AB=10,即可得出?ABCD的周長.【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OD=OB,DC∥AB,∴∠FDO=∠EBO,在△DFO和△BEO中,∠FDO=∠EBO OD=OB ∠FOD=∠EOB ,∴△DFO≌△BEO(ASA),∴OE=OF.(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵EF⊥AC,∴AE=CE,∵△BEC的周長是10,∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,∴?ABCD的周長=2(BC+AB)=20.【點評】本題考查了平行四邊形的性質,平行線的性質,全等三角形的性質和判定、線段垂直平分線的性質;熟練掌握平行四邊形的性質,證明三角形全等是解決問題的關鍵.2在面積為15的□ABCD中,過點A作AE垂直于直線BC于點E,作AF垂直于直線CD于點F,若AB=5,BC=6,求CE+CF的值2平行四邊形的性質和面積,勾股定理。依題意,有如圖的兩種情況。設BE=x,DF=y。如圖1,由AB=5,BE=x,得。由平行四邊形ABCD的面積為15,BC=6,得,解得(負數舍去)。由BC=6,DF=y,得。由平行四邊形ABCD的面積為15,AB=5,得,解得(負數舍去)?!郈E+CF=(6-)+(5-)=11-。如圖2,同理可得BE= ,DF=?!郈E+CF=(6+)+(5+)=11+。故選C。3如圖,□ABCD中,點E、F分別在AD、AB上,依次連接EB、EC、FC、FD,圖中陰影部分的面積分別為S、S、S、S,已知S=2、S=12、S=3,求S的值【考點】平行四邊形的性質.【分析】影陰部分S2是三角形CDF與三角形CBE的公共部分,而S1,S4,S3這三塊是平行四邊形中沒有被三角形CDF與三角形CBE蓋住的部分,故△CDF面積+△CBE面積+(S1+S4+S3)-S2=平行四邊形ABCD的面積,而△CDF與△CBE的面積都是平行四邊形ABCD面積的一半,據此求得S的值.【解答】解:設平行四邊形的面積為S,則S△CBE=S△CDF=S,由圖形可知,△CDF面積+△CBE面積+(S1+S4+S3)-S2=平行四邊形ABCD的面積∴S=S△CBE+S△CDF+2+S+3-12, 即S=S+S+2+S+3-12,解得S=7,故選(D).【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質,解決問題的關鍵是明確各部分圖形面積的和差關系:平行四邊形ABCD的面積=△CDF面積+△CBE面積+(S1+S4+S3)-S2.4如圖,□ABCD中,M是BC的中點,且AM=9,BD=12,AD=10,求ABCD的面積.【考點】平行四邊形的性質;三角形的面積;勾股定理的逆定理.【專題】壓軸題;轉化思想.【分析】求?ABCD的面積,就需求出BC邊上的高,可過D作DE∥AM,交BC的延長線于E,那么四邊形ADEM也是平行四邊形,則AM=DE;在△BDE中,三角形的三邊長正好符合勾股定理的逆定理,因此△BDE是直角三角形;可過D作DF⊥BC于F,根據三角形面積的不同表示方法,可求出DF的長,也就求出了BC邊上的高,由此可求出四邊形ABCD的面積.【解答】解:作DE∥AM,交BC的延長線于E,則ADEM是平行四邊形,∴DE=AM=9,ME=AD=10,又由題意可得,BM=12BC=12AD=5,則BE=15,在△BDE中,∵BD2+DE2=144+81=225=BE2,∴△BDE是直角三角形,且∠BDE=90°,過D作DF⊥BE于F,則DF=BD?DEBE=365,∴S?ABCD=BC?FD=10×365=72.故選D.【點評】此題主要考查平行四邊形的性質和勾股定理的逆定理,正確地作出輔助線,構造直角三角形是解題的關鍵.5.(2012?淄博模擬)則在?ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分別連接DB、DG、BG,∠BDG的大小是( ?。〢.30°B.45°C.60°D.75°【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.【專題】壓軸題.【分析】分別連接GB、GC,求證四邊形CEGF是平行四邊形,再求證△ECG是等邊三角形.由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB,則可證得△BEG≌△DCG,然后即可求得答案.【解答】解:延長AB、FG交于H,連接HD.∵AD∥GF,AB∥DF,∴四邊形AHFD為平行四邊形,∵∠ABC=120。省略部分?!郃D=DF,∴平行四邊形AHFD為菱形,∴△ADH,△DHF為全等的等邊三角形,∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°,∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,∴BH=GF,在△BHD和△GFD中,BH=GF∠BHD=∠GFDDH=DF,∴△BHD≌△GFD(SAS),∴∠BDH=∠GDF,∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.故選C.【點評】此題主要考查平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質,菱形的判定與性質等知識點.此題難度較大,注意掌握輔助線的作法,注意數形結合思想的應用.6.如圖,E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、CD上的點,AF與DE相交于點P,BF與CE相交于點Q,若S△APD=15cm2,S△BQC=25cm2,求陰影部分的面積.【考點】平行四邊形的性質.【專題】壓軸題.【分析】作出輔助線,因為△ADF與△DEF同底等高,所以面積相等,所以陰影圖形的面積可解.【解答】解:如圖,連接EF∵△ADF與△DEF同底等高,∴S△ADF=S△DEF即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF,即S△APD=S△EPF=15cm2,同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2,∴陰影部分的面積為S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm2.故答案為:40.【點評】本題綜合性較強,主要考查了平行四邊形的性質,解答此題關鍵是作出輔助線,找出同底等高的三角形.7如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,連接BM,MN,BN.(1)求證:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的長.【考點】三角形中位線定理;直角三角形斜邊上的中線;勾股定理.【分析】(1)根據三角形中位線定理得MN=AD,根據直角三角形斜邊中線定理得BM=1AD,根據直角三角形斜邊中線定理得BM=AC,由此即可證明.首先證明∠BMN=90°,根據BN2=BM2+MN2即可解決問題.【解答】(1)證明:在△CAD中,∵M、N分別是AC、CD的中點,∴MN∥AD,MN=12AD,在RT△ABC中,∵M是AC中點,∴BM=12AC,∵AC=AD,∴MN=BM.(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由(1)可知,BM=12AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,由(1)可知MN=BM=12AC=1,∴BN=2【點評】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識,解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題,屬于中考??碱}型.8.(2013?沈陽模擬)在?ABCD中,∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F,連接AC.(1)如圖1,若∠ADC=90°,G是EF的中點,連接AG、CG.①求證:BE=BF.②請判斷△AGC的形狀,并說明理由;(2)如圖2,若∠ADC=60°,將線段FB繞點F順時針旋轉60°至FG,連接AG、CG.那么△AGC又是怎樣的形狀.(直接寫出結論不必證明)【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質;等邊三角形的判定;等腰直角三角形.【專題】壓軸題.【分析】(1)①先判定四邊形ABCD是矩形,再根據矩形的性質可得∠ABC=90°,AB∥DC,AD∥BC,然后根據平行線的性質求出∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,再根據DF是∠ADC的平分線,利用角平分線的定義得到∠ADF=∠FDC,從而得到∠F=∠BEF,然后根據等角對等邊的性質即可證明;②連接BG,根據等腰直角三角形的性質可得∠F=∠BEF=45°,再根據等腰三角形三線合一的性質求出BG=FG,∠F=∠CBG=45°,然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等,根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG,再求出∠GAC+∠ACG=90°,然后求出∠AGC=90°,然后根據等腰直角三角形的定義判斷即可;(2)連接BG,根據旋轉的性質可得△BFG是等邊三角形,再根據角平分線的定義以及平行線的性質求出AF=AD,平行四邊形的對角相等求出∠ABC=∠ADC=60°,然后求出∠CBG=60°,從而得到∠AFG=∠CBG,然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等,根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG,全等三角形對應角相等可得∠FAG=∠BCG,然后求出∠GAC+∠ACG=120°,再求出∠AGC=60°,然后根據等邊三角形的判定方法判定即可.【解答】(1)證明:①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AB∥DC,AD∥BC,∴∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,∵DF是∠ADC的平分線,∴∠ADF=∠FDC,∴∠F=∠BEF,∴BF=BE;②△AGC是等腰直角三角形.理由如下:連接BG,由①知,BF=BE,∠FBC=90°,∴∠F=∠BEF=45°,∵G是EF的中點,∴BG=FG,∠F=∠CBG=45°,∵∠FAD=90°,∴AF=AD,又∵AD=BC,∴AF=BC,在△AFG和△CBG中,AF=BC∠F=∠CBG=45°BG=FG,∴△AFG≌△CBG(SAS),∴AG=CG,∴∠FAG=∠BCG,又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°,∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°,即∠GAC+∠ACG=90°,∴∠AGC=90°,∴△AGC是等腰直角三角形;(2)連接BG,∵FB繞點F順時針旋轉60°至FG,∴△BFG是等邊三角形,∴FG=BG,∠FBG=60°,又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ADC=60°,∴∠ABC=∠ADC=60°∴∠CBG=180°-∠FBG-∠ABC=180°-60°-60°=60°,∴∠AFG=∠CBG,∵DF是∠ADC的平分線,∴∠ADF=∠FDC,∵AB∥DC,∴∠AFD=∠FDC,∴∠AFD=∠ADF,∴AF=AD,在△AFG和△CBG中,FG=BG∠AFG=∠CBGAF=BC,∴△AFG≌△CBG(SAS),∴AG=CG,∠FAG=∠BCG,在△ABC中,∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°-60°=120°,∴∠AGC=180°-(∠GAC+∠ACG)=180°-120°=60°,∴△AGC是等邊三角形.【點評】本題考查了平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,等腰直角三角形的性質,難度較大,作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.
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