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平面向量的數量積教案.docx

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?2.4《平面向量的數量積》教案(第一課時)2017級應用數學專業 康萍一.教學內容分析本課內容選自普通高中課程標準實驗教科書數學必修4(人教A版)§2.4 平面向量的數量積的第一課時,本課主要內容是向量的數量積的定義及運算律,本節課讓學生了解從特殊到一般再由一般到特殊的這種認識規律和體會概念法則的學習過程.二.學生學習情況分析學生在學習本節內容之前,已熟知了實數的運算體系,掌握了向量的概念及其線性運算,具備了功等物理知識,并且初步體會了研究向量運算的一般方法。 在功的計算公式和研究向量運算的一般方法的基礎上,學生基本上能類比得到數量積的含義和運算律,對于運算律不一定給全或給對,對運算律的證明可能會存在一定的困難,教學中老師要注意引導學生分析判斷.三.設計思想遵循新課標以人為本的理念,以啟發式教學思想和建構主義理論為指導,采用探究式教學,以多媒體手段為平臺,利用問題讓學生自主地參與探究,在探究過程中注重學生學習過程的體驗和數學能力的發展, 引導學生積極將知識融入自己的知識體系。四.教學目標知識與技能:以物理中功的實例認識理解平面向量數量積的含義及物理意義。 過程與方法:培養學生觀察、歸納、類比、聯想和數形結合等發現規律的一般方法。情感態度價值觀:讓學生經歷由實例到抽象的數學定義的形成過程,性質的發現到論證過程,進一步參悟數學的本質。五.教學重點和難點重點是平面向量數量積的概念、用平面向量數量積表示向量的模及夾角;難點是平面向量數量積的定義及運算律的理解,平面向量數量積的應用。六.教學過程設計活動一:創設問題情景,引出新課1、提出問題1:請同學們回顧一下,我們已經研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?答:向量的加法、減法及數乘運算。這些運算的結果是向量。 很好,那既然兩個向量可以進行加法、減法運算。我們自然就想:兩個向量能進行乘法運算嗎?如果能,結果也是向量嗎?【設計意圖】1.讓學生明白新舊知識的聯系性。2.明確研究向量的數量積這種運算的途徑。SFα活動二:探究數量積的概念1、給出有關材料并提出問題2:(1)如圖所示,一物體在力F的作用下產生位移S,那么力F所做的功:W= |F| |S| cos。 (2)這個公式有什么特點?請完成下列填空:① W(功)是 量,② F(力)是 量,③ S(位移)是 量,④α是 。(3)你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?答:功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積這就給我們一種啟示:能否把功W看成兩個向量F和S的一種運算結果呢?為此我們引入平面向量數量積,今天,我們就來學習平面向量的數量積。2、明晰數量積的定義(1)數量積的定義:已知兩個非零向量與,它們的夾角為θ,我們把數量叫做向量與的數量積(或內積),記作:,即:。(2)定義說明:①記法“”中間的“·”不可以省略,也不可以用“”代替。 ②規定:零向量與任何向量的數量積為零?!驹O計意圖】1.認識向量的數量積的實際背景。2.使學生在形式上認識數量積的定義。3.從數學和物理兩個角度創設問題情景,使學生明白為什么研究這種運算,從而產生強烈的求知欲望。3、提出問題3:向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同?影響數量積大小的因素有哪些? 答:線性運算的結果是向量,而數量積的結果則是數量,這個數量的大小不僅和向量與的模有關,還和它們的夾角有關。4、學生討論并完成下表:θ的范圍0°≤θ<90°θ=90°90°0的情況,為了幫助學生完善證明,提出以下問題:當λ<0時,向量,的方向的關系如何?此時,向量及的夾角與向量的夾角相等嗎?5、師生活動:證明運算律(3)【設計意圖】學會利用定義證明運算律(1)(2),運算律(3)的圖形構造有些困難,先讓學生討論,后根據學生的情況加以指導或共同完成?;顒游澹簯门c提高1、 學生獨立完成:已知, 的夾角θ,(1) (2)【設計意圖】通過計算鞏固對定義的理解,同時讓學生學會運用性質解決問題。2、師生共同完成:已知, 的夾角為60°,求,并思考此運算過程類似于哪種實數運算?3、學生獨立完成:對任意向量 ,b是否有以下結論:(1) (2)【設計意圖】讓學生體會解題中運算律的作用,比較向量運算與數運算的異同。4、反饋練習已知△ABC中,時,試判斷△ABC的形狀?!驹O計意圖】1.加強學生的練習。2.通過觀察、問答等方式對學生的掌握情況有了進一步的了解和把握?;顒恿盒〗Y 1、本節課我們學習的主要內容是什么?2、平面向量的數量積有哪些應用?3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究?在運算律的探究過程中,滲透了哪些數學思想? 4、類比向量的線性運算,我們還應該怎樣研究數量積?【設計意圖】通過學生討論總結,加強了學生概念法則的理解和掌握,體會整個內容的研究過程,明白了為什么要學這些內容,學了這些內容可以做什么,這對以后的學習有什么指導意義?;顒悠撸翰贾米鳂I 1、課本P119習題2.4A組1、2、3。2、拓展與提高:已知都是非零向量,且垂直垂直,求的夾角。(本題供學有余力的同學選做)【設計意圖】通過設計不同層次的作業既使學生掌握基礎知識,又使學有余力的學生有所提高,從而達到激發興趣和“減負”的目的。七.板書設計 2.4 平面向量的數量積一.向量數量積的定義 三.向量數量積的幾何意義 例2 1已知兩個非零向量與 1.投影的概念=||||cosθ,其中 θ是與的夾角2規定: =0 2.數量積的幾何意義二.向量數量積的重要性質 設與都是非零向量,θ是與的夾角 四.運算律向量數量積的運算律 例3 (1)^ ? = 0 (1)= (交換律)(2)當與同向時, = ||||; (2)(λ)=λ ()= (λ)(數乘結合律) 當與反向時, = -||||; (3)(+)=+ (分配律) 八.教學反思本節課從總體上說是一節概念教學,從數學和物理兩個角度創設問題情景來引入數量積概念能激發學生的學習興趣,。通過安排學生討論影響數量積結果的因素并完成表格和將數量積的幾何意義提前有助于學生更好理解數量積的結果是數量而不是向量。數量積的性質和運算律是數量積概念的延伸,這兩方面的內容按照創設一定的情景,讓學生自己去探究、去發現結論,教師明晰后,再由學生或師生共同完成證明。這樣能更清楚地看到數學法則與法則間的聯系與區別,體會法則學習研究的重要性,例題和練習的選擇都是圍繞數量積的概念和運算律展開的,這能使學生更好在掌握概念法則.
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