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平面向量經典習題-提高篇.doc

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?平面向量:1. 已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b與向量c=(1,-2)共線,則實數λ等于(  )A.-2          B.-C.-1 D.-[答案] C[解析] λa+b=(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa+b與c共線,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1.2. (文)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b與c垂直,則k=(  )A.-1 B.-C.-3 D.1[答案] C[解析] a+2b=(,1)+(0,2)=(,3),∵a+2b與c垂直,∴(a+2b)·c=k+3=0,∴k=-3.(理)已知a=(1,2),b=(3,-1),且a+b與a-λb互相垂直,則實數λ的值為(  )A.- B.-C. D.[答案] C[解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ),∵a+b與a-λb垂直,∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=.3. 設非零向量a、b、c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,則向量a、b間的夾角為(  )A.150° B.120°C.60° D.30°[答案] B[解析] 如圖,在?ABCD中,∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD為正三角形,∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故選B.(理)向量a,b滿足|a|=1,|a-b|=,a與b的夾角為60°,則|b|=(  )A. B.C. D.[答案] A[解析] ∵|a-b|=,∴|a|2+|b|2-2a·b=,∵|a|=1,〈a,b〉=60°,設|b|=x,則1+x2-x=,∵x>0,∴x=.4. 若·+2=0,則△ABC必定是(  )A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形[答案] B[解析] ·+2=·(+)=·=0,∴⊥,∴AB⊥AC,∴△ABC為直角三角形.5. (文)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),則用a,b表示c為(  )A.-a+3b B.a-3bC.3a-b D.-3a+b[答案] B[解析] 設c=λa+μb,則(-2,4)=(λ+μ,λ-μ),∴,∴,∴c=a-3b,故選B.(理)在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,若=a,=b,則等于(  )A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b[答案] B[解析] ∵E為OD的中點,∴=3,∵DF∥AB,∴=,∴|DF|=|AB|,∴|CF|=|AB|=|CD|,∴=+=+=a+(-)=a+(b-a)=a+b.6. 若△ABC的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6,則·的值為(  )A.19 B.14C.-18 D.-19[答案] D[解析] 據已知得cosB==,故·=||×||×(-cosB)=7×5×=-19.7. 若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,則9x+3y的最小值為(  )A.12 B.2C.3 D.6[答案] D[解析] a·b=4(x-1)+2y=0,∴2x+y=2,∴9x+3y=32x+3y≥2=6,等號在x=,y=1時成立.8. 若A,B,C是直線l上不同的三個點,若O不在l上,存在實數x使得x2+x+=0,實數x為(  )A.-1 B.0C. D.[答案] A[解析] x2+x+-=0,∴x2+(x-1)+=0,由向量共線的充要條件及A、B、C共線知,1-x-x2=1,∴x=0或-1,當x=0時,=0,與條件矛盾,∴x=-1.9. (文)已知P是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點,則·(+)(  )A.最大值為8 B.最小值為2C.是定值6 D.與P的位置有關[答案] C[解析] 以BC的中點O為原點,直線BC為x軸建立如圖坐標系,則B(-1,0),C(1,0),A(0,),+=(-1,-)+(1,-)=(0,-2),設P(x,0),-1≤x≤1,則=(x,-),∴·(+)=(x,-)·(0,-2)=6,故選C.(理)在△ABC中,D為BC邊中點,若∠A=120°,·=-1,則||的最小值是(  )A. B.C. D.[答案] D[解析] ∵∠A=120°,·=-1,∴||·||·cos120°=-1,∴||·||=2,∴||2+||2≥2||·||=4,∵D為BC邊的中點,∴=(+),∴||2=(||2+||2+2·)=(||2+||2-2)≥(4-2)=,∴||≥.10. 如圖所示,點P是函數y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)的圖象的最高點,M,N是該圖象與x軸的交點,若·=0,則ω的值為(  )A. B.C.4 D.8[答案] B[解析] ∵·=0,∴PM⊥PN,又P為函數圖象的最高點,M、N是該圖象與x軸的交點,∴PM=PN,yP=2,∴MN=4,∴T==8,∴ω=.11. 如圖,一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E、F兩點,且交其對角線于K,其中=,=,=λ,則λ的值為(  )A. B.C. D.[答案] A[解析] 如圖,取CD的三等分點M、N,BC的中點Q,則EF∥DG∥BM∥NQ,易知=,∴λ=.12. 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b與a-2b共線,則m的值為(  )A.         B.2C.-2 D.-[答案] C[解析] ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),由條件知(2m-4)·(-1)-(3m+8)×4=0,∴m=-2,故選C.13. 在△ABC中,C=90°,且CA=CB=3,點M滿足=2,則·等于(  )A.2     B.3    C.4     D.6[答案] B[解析] ·=(+)·=(+)·=·+·=||·||·cos45°=×3×3×=3.14. 在正三角形ABC中,D是BC上的點,AB=3,BD=1,則·=________.[答案] [解析] 由條件知,||=||=||=3,〈,〉=60°,〈,〉=60°,=,∴·=·(+)=·+·=3×3×cos60°+×3×3×cos60°=.15. 已知向量a=(3,4),b=(-2,1),則a在b方向上的投影等于________.[答案]?。璠解析] a在b方向上的投影為==-.16. 已知向量a與b的夾角為,且|a|=1,|b|=4,若(2a+λb)⊥a,則實數λ=________.[答案] 1[解。省略部分?!蔤.21. (文)三角形的三個內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c,設向量m=(c-a,b-a),n=(a+b,c),若m∥n.(1)求角B的大??;(2)若sinA+sinC的取值范圍.[解析] (1)由m∥n知=,即得b2=a2+c2-ac,據余弦定理知cosB=,得B=.(2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+)=sinA+sinA+cosA=sinA+cosA=sin(A+),∵B=,∴A+C=,∴A∈(0,),∴A+∈(,),∴sin(A+)∈(,1],∴sinA+sinC的取值范圍為(,].(理)在鈍角三角形ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,m=(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且m∥n.(1)求角A的大??;(2)求函數y=2sin2B+cos(-2B)的值域.[解析] (1)由m∥n得(2b-c)cosA-acosC=0,由正弦定理得2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0,∵sin(A+C)=sinB,∴2sinBcosA-sinB=0,∵B、A∈(0,π),∴sinB≠0,∴A=.(2)y=1-cos2B+cos2B+sin2B=1-cos2B+sin2B=sin(2B-)+1,當角B為鈍角時,角C為銳角,則?<B<,∴<2B-<,∴sin(2B-)∈(-,),∴y∈(,).當角B為銳角時,角C為鈍角,則?0<B<,∴-<2B-<,∴sin(2B-)∈(-,),∴y∈(,),綜上,所求函數的值域為(,).22. 設函數f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R.(1)若f(x)=1-且x∈[-,],求x;(2)若函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函數y=f(x)的圖象,求實數m、n的值.[解析] (1)依題設,f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1-,得sin(2x+)=-,∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,∴2x+=-,即x=-.(2)函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)平移后得到函數y=2sin2(x-m)+n的圖象,即函數y=f(x)的圖象.由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1.∵|m|<,∴m=-,n=1.23. 已知向量=(2cosx+1,cos2x-sinx+1),=(cosx,-1),f(x)=·.(1)求函數f(x)的最小正周期;(2)當x∈[0,]時,求函數f(x)的最大值及取得最大值時的x值.[解析] (1)∵=(2cosx+1,cos2x-sinx+1),=(cosx,-1),∴f(x)=·=(2cosx+1)cosx-(cos2x-sinx+1)=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1=cosx+sinx=sin(x+),∴函數f(x)最小正周期T=2π.(2)∵x∈[0,],∴x+∈[,],∴當x+=,即x=時,f(x)=sin(x+)取到最大值.24. △ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n.(1)求A的大??;(2)現在給出下列三個條件:①a=1;②2c-(+1)b=0;③B=45°,試從中選擇兩個條件以確定△ABC,求出所確定的△ABC的面積.(注:只需要選擇一種方案答題,如果用多種方案答題,則按第一方案給分).[解析] (1)因為m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,所以cos(B+C)=-,因為A+B+C=π,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,A=30°.(2)方案一:選擇①②,可確定△ABC,因為A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理得,12=b2+(b)2-2b·b·解得b=,所以c=,所以S△ABC=bcsinA=···=,方案二:選擇①③,可確定△ABC,因為A=30°,a=1,B=45°,C=105°,又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=,由正弦定理c===,所以S△ABC=acsinB=·1··=.(注意:選擇②③不能確定三角形)(理)如圖,⊙O方程為x2+y2=4,點P在圓上,點D在x軸上,點M在DP延長線上,⊙O交y軸于點N,∥,且=.(1)求點M的軌跡C的方程;(2)設F1(0,)、F2(0,-),若過F1的直線交(1)中曲線C于A、B兩點,求·的取值范圍.[解析] (1)設P(x0,y0),M(x,y),∵=,∴,∴,代入x+y=4得,+=1.(2)①當直線AB的斜率不存在時,顯然·=-4,②當直線AB的斜率存在時,不妨設AB的方程為:y=kx+,由得,(9+4k2)x2+8kx-16=0,不妨設A1(x1,y1),B(x2,y2),則,·=(x1,y1+)·(x2,y2+)=(x1,kx1+2)·(x2,kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+20=++20=+20=-4+,∵k2≥0,∴9+4k2≥9,∴0<≤,∴-4<·≤,綜上所述,·的取值范圍是(-4,].25. 在平面直角坐標系內,已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變,縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足·=1.(1)求動點P所在曲線C的方程;(2)過點B作斜率為-的直線l交曲線C于M、N兩點,且++=0,又點H關于原點O的對稱點為點G,試問M、G、N、H四點是否共圓?若共圓,求出圓心坐標和半徑;若不共圓,請說明理由.[解析] (1)設點P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,y),依據題意得,=(x+1,y),=(x-1,y).∵·=1,∴x2-1+2y2=1.∴動點P所在曲線C的方程是+y2=1.(2)因直線l過點B,且斜率為k=-,∴l:y=-(x-1),聯立方程組,消去y得,2x2-2x-1=0.設M(x1,y1)、N(x2,y2),∴∴y1+y2=-(x1-1)-(x2-1)=-(x1+x2)+=.由++=0得,=(-x1-x2,-y1-y2),即H(-1,-),而點G與點H關于原點對稱,∴G(1,),設線段MN、GH的中垂線分別為l1和l2,kGH=,則有l1:y-=(x-),l2:y=-x.聯立方程組解得l1和l2的交點為O1(,-).因此,可算得|O1H|==,|O1M|==.所以M、G、N、H四點共圓,且圓心坐標為O1(,-),半徑為.第 19 頁 共 19 頁
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