小學數學問答手冊四、數的整除性

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'小學數學問答手冊四、數的整除性'
?四、數的整除性153.為什么要學習“數的整除性”這部分知識?  “數的整除性”在小學數學教學中是一個重要的基礎知識。說它重要是因為這部分知識所涉及的基本數學概念不僅多,而且相對集中,如果不能明確、清晰地掌握這些基本數學概念的區別和聯系,就會引起混淆,而混淆也必然給以后的數學知識的學習,帶來嚴重的后遺癥?! ±纾杭s數與倍數、質數與合數、奇數與偶數、公約數與公倍數……這些概念在教學中幾乎同時出現,但又有相反的內涵,因此,這些概念必須牢固而又明確地建立起來?! ∵€必須看到:“數的整除性”是學習分數的前提和準備。在分數的四則運算中,約分和通分是一定要掌握的基礎知識,而構成這些基礎知識,是離不開“數的整除性”這部分內容的?! ±纾翰徽莆涨笞畲蠊s數的方法,就不可能進行正確、迅速的約分;不掌握求最小公倍數的方法,也無法進行正確、迅速的通分。從這個意義上講,學習“數的整除性”是進一步學習數學的需要?! 〕酥?,學生在過去的學習中,已經知道整數與整數的和、差、積都是整數,但整數除整數時,商不一定是整數,有時會是小數,到底在什么情況下,整數與整數相除,商仍然是整數呢?這就需要根據“數的整除性”的知識來進行正確的判斷了?! ≡谖磳W習“數的整除性”前,學生是很難準確、迅速地判斷出下列各式的商是不是整數?!?7459÷3 65246÷7  32846÷11 96375÷25  74321÷9 79432÷8  由于數字較大,一時難于做出正確的判斷,一旦掌握了“數的整除性”這部分知識,這些問題就不難解決了。154.整除和除盡有什么不同?  整除和除盡是兩個既有區別又有聯系的概念,也是兩個易于混淆的概念??梢酝ㄟ^下面兩道題的計算過程,來加以說明?! ∵@兩道題相同的地方是都沒有余數,都可以說成是“除盡”。但這兩道題又有不同的地方,(1)題中的被除數、除數和商都是整數,這種情況稱作“整除”。按原題可以說成是896能被16整除。(2)題中的被除數、除數雖然是整數,但商不是整數,而是小數。這類情況就只能稱作“除盡”,而不能稱作“整除”。按原題可以說成36能被8除盡,而不能說成36能被8整除?! ∮秩纾?.5÷0.5=7 824÷41.2=20  這兩個式子雖然都能除盡,商又是整數,但被除數和除數中, 至少有一個數不是整數,因此,這兩個式子只能屬于“除盡”情況,而不能稱作“整除”?! ∮捎谠谛W數學中,“數的整除性”所涉及的數一般都指的是自然數,不包括0,因此,其定義是:“數a除以數b,除得的商正好是整數而沒有余數,我們就說,a能被b整除?!薄  罢迸c“除盡”是兩個不同的概念?!俺M”是指在除法中只要除到某一位時沒有余數,不管被除數、除數和商是整數還是小數,都可以說是“除盡”?!罢笔侵冈诔ㄖ兄挥斜怀龜?、除數和商都是整數的情況下,才可以說是“整除”?!  罢笔钦麛捣秶鷥鹊某?,而“除盡”則不限于整數范圍,只要求余數為零?!罢迸c“除盡”的區別和聯系在于“整除”也可以稱作“除盡”,但是“除盡”不一定是“整除”?!俺M”中包括了“整除”,“整除”只是“除盡”的一種特殊情況?!俺M”與“整除”的關系可用右邊集合圖來表示。155.“數的整除性”有哪些性質?  “數的整除性”的性質很多,涉及到小學數學內容的有以下幾個: ?。?)如果兩個整數a、b都能被c整除,那么a與b的和也能被c整除?! ±纾?2÷7=6 56÷7=8 ?。?2+56)÷7=14  42能被7整除,56-省略部分-。哥德巴赫所提的問題,直到現在還沒能證明,因此,不能成為一條定律,只能是一個猜想。哥德巴赫所提的問題,就被稱為哥德巴赫猜想,而這一猜想也成為世界著名難題之一?! 《俣嗄赀^去了,這一難題的研究雖然有些進展,但迄今為止,還沒有完全得到解決?! ?920年挪威數學家布朗證明了:每一個很大偶數(或叫大偶數)是九個素數的積加上九個素數的積,簡稱“9+9”。1924年法國的拉德巴哈爾證明了:每一個大偶數是七個素數的積加上七個素數的積,簡稱“7+7”。隨著研究的進展,“6+6”、“5+5”……最終還沒有完全證明?! ⊙芯吭角斑M,困難也越大。50年代以來,我國數學家不斷在哥德巴赫猜想這一世界難題研究中,取得了良好的成績。特別是1966年,我國數學家陳景潤宣布他已經證明了:每一個充分大的偶數,都可以表示成一個素數加上兩個素數的積;即:所謂的(1+2)?! ±纾?=2+2×3 18=3+3×5  98=7+13×7 1000=7+3×331  陳景潤的研究成果是研究哥德巴赫猜想的最好的結果,引起了國際數學界的高度重視,對于陳景潤的杰出貢獻,國外數學家把(1+2)這個證明命名為“陳氏定理”?! 。?+2)的證明是1973年正式公布的。哥德巴赫猜想這道世界難題的最終解決,還需要人們不斷地探索和證明。184.什么是棄九驗算法?  棄九驗算法又稱九余數法。它是依據九余數的特點,用來檢驗加、減、乘、除四則運算是否正確的一種驗算方法?! ∷^棄九數,就是指:把一個數的各位數字相加(如果相加的結果大于九要減去九),直到和是一位數,這個數就叫做原來數的棄九數。棄九數也可以通過下列方法得到,即:把一個數中的數字9或相加得9的幾個數字都劃去,將剩下數字相加,得到一個小于9的數,這個數就是原來的棄九數?! ±纾合铝懈鲾档淖詈髷稻褪菞壘艛??! 壘膨炈惴ǖ膶嶋H應用是: ?。?)檢驗加法時,如果各個加數九余數之和(如超過9再減去9的倍數)等于和的九余數時,計算結果可能就是正確的?! 。?)檢驗減法時,如果被減數的九余數減去減數的九余數所得的差,等于差的九余數時,計算結果可能就是正確的?! 。?)檢驗乘法時,如果被乘數的九余數與乘數的九余數之積的九余數,等于積的九余數,計算結果可能就是正確的;反之則是錯誤的?! ∮捎诘忍杻蛇叺臄底植灰恢?,可以認定結果是錯誤的,正確結果應該是:3585437?! ?4)檢驗除法時,可以用乘法逆運算的辦法進行。即:商×除數=被除數。當商的九余數和除數的九余數之積的九余數,等于被除數的九余數時,計算結果可能是正確的,反之則是錯誤的?! ∵@種棄九驗算法的根據是:利用被9整除數的特征。一個數的棄九數就是這個數被9除后的余數(如果棄九數是0,說明能被9整除)。如果等號兩邊的余數相同,證明原來計算可能是正確的;等號兩邊的余數不相同,說明計算結果是錯誤的?! 壘膨炈惴ㄊ且环N并不十分精確的驗算方法,它的局限性是:在遇到下列情況時,往往檢驗不出來計算結果的錯誤?! 。?)如果在抄寫時,數字顛倒了位置,如:837誤抄成873?! 。?)在數字中出現丟0或多0時,如:8406誤寫成846或84006?! 。?)這種驗算方法也可以適用于小數四則的計算,驗算時也按上述整數四則的方法進行。但是,當小數點點錯了位置時,也檢驗不出來錯誤的所在?! ”M管如此,棄九驗算法由于具有簡便易行的特點,在一般情況下,較之用重復計算或逆運算的方法進行驗算,可以省時省力,因此,這種驗算方法還是有一定實用價值的。
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