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2019-2020年高中數學必修四 3.1.2 《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》示范教案

'2019-2020年高中數學必修四 3.1.2 《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》示范教案'
?2019-2020年高中數學必修四 3.1.2 《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》示范教案教學分析1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上,進一步研究具有“兩角和差”關系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導中,教科書都把對照、比較有關的三角函數式,認清其區別,尋找其聯系和聯系的途徑作為思維的起點,如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內在聯系,即α+β=α-(-β)的關系,從而由公式C(α-β)推得公式C(α+β),又如比較sin(α-β)與cos(α-β),它們包含的角相同但函數名稱不同,這就要求進行函數名的互化,利用誘導公式(5)(6)即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導,揭示了兩角和、差的三角函數與這兩角的三角函數的運算規律,還使學生加深了數學公式的推導、證明方法的理解.因此本節內容也是培養學生運算能力和邏輯思維能力的重要內容,對培養學生的探索精神和創新能力,發現問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.3.本節的幾個公式是相互聯系的,其推導過程也充分說明了它們之間的內在聯系,讓學生深刻領會它們的這種聯系,從而加深對公式的理解和記憶.本節幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性,逐步培養他們良好的思維習慣,教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導,例如在面對問題時,要注意先認真分析條件,明確要求,再思考應該聯系什么公式,使用公式時要具備什么條件等.另外,還要重視思維過程的表述,不能只看最后結果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等,這些都是培養學生三角恒等變換能力所不能忽視的.三維目標1.在學習兩角差的余弦公式的基礎上,通過讓學生探索、發現并推導兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的內在聯系,并通過強化題目的訓練,加深對公式的理解,培養學生的運算能力及邏輯推理能力,從而提高解決問題的能力.2.通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用,會進行簡單的求值、化簡、恒等證明,使學生深刻體會聯系變化的觀點,自覺地利用聯系變化的觀點來分析問題,提高學生分析問題解決問題的能力.3.通過本節學習,使學生掌握尋找數學規律的方法,提高學生的觀察分析能力,培養學生的應用意識,提高學生的數學素質.重點難點教學重點:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導.教學難點:靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明.課時安排2課時教學過程第1課時導入新課 思路1.(舊知導入)教師先讓學生回顧上節課所推導的兩角差的余弦公式,并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片,注意有意識地讓學生寫整齊.然后教師引導學生觀察cos(α-β)與cos(α+β)、sin(α-β)的內在聯系,進行由舊知推出新知的轉化過程,從而推導出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本節課我們共同研究公式的推導及其應用. 思路2.(問題導入)教師出示問題,先讓學生計算以下幾個題目,既可以復習回顧上節所學公式,又為本節新課作準備.若sinα=,α∈(0,),cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.學生利用公式C(α-β)很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α+β)的值就得想法轉化為公式C(α-β)的形式來求,此時思路受阻,從而引出新課題,并由此展開聯想探究其他公式.推進新課新知探究提出問題①還記得兩角差的-省略部分-β=tan(α+β)(1-tanαtanβ),對于我們解題很有用處,而(2)中化切為弦的求法更是巧妙,應讓學生熟練掌握其解法.變式訓練1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解:原式=[(1+tan1°)(1+tan44°)][(1+tan2°)(1+tan43°)]…[(1+tan22°)(1+tan23°)](1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.計算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能訓練課本本節練習5—7.解答:5.解:(1)原式=sin90°=1.(2)原式=cos60°=.(3)原式=tan45°=1.(4)原式=-sin60°=.(5)原式=-cos60°=.(6)原式=sin20°(-cos70°)+(-cos20°)sin70°=-(sin20°cos70°+cos20°sin70°)=-sin90°=-1.6.(1)原式=sincosx-cossinx=sin(-x).(2)原式=2(sinx+cosx)=2sin(x+).(3)原式=2(sinx-cosx)=2sin(x-).(4)原式=2(cosx-sinx)=2sin(-x). 點評:將asinx+bcosx轉化為Asin(x+φ)或Acos(x+φ)的形式,關鍵在于“湊”和(或差)角公式.7.解:由sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=,可得sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin(α-β-α)=-sinβ=,∴sinβ=.又β是第三象限角,∴cosβ=.∴sin(β+)=sinβcos+cosβsin=.作業已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的兩個根為tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.解:由韋達定理得:tanα+tanβ=,tanαtanβ=,∴tan(α+β)=.課堂小結1.先讓學生回顧本節課的主要內容是什么?我們學習了哪些重要的解題方法?通過本節的學習,我們在運用和角與差角公式時,應注意什么?如何靈活運用公式解答有關的三角函數式的化簡、求值、恒等證明等問題.2.教師畫龍點睛:通過本節課的學習,要熟練掌握運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式解決三角函數式的化簡、求值、恒等證明等問題,靈活進行角的變換和公式的正用、逆用、變形用等.推導并理解公式asinx+bcosx=sin(x+φ),運用它來解決三角函數求值域、最值、周期、單調區間等問題.設計感想1.本節是典型的習題課,目的就是加深鞏固兩角和與差公式的應用,深刻理解公式的內在聯系,學會綜合利用公式解題的方法和技巧.因此,本節課安排的四個例子都是圍繞這個目標設計的,它們的解題方法也充分體現了公式的靈活運用.另外,通過補充的例題,教給學生正用、逆用、變形用公式的方法,培養了他們的逆向思維和靈活運用公式的能力.特別是給出了形如“asinx+bcosx=sin(x+φ)”公式的推導和應用,對于三角函數的研究,給我們提供了一種重要的方法.2.對于習題課來說,我們應該本著以學生為主體,教師為主導的原則,讓學生先認真審題、獨立思考、板演解法,然后教師再進行點評,理清思路,糾正錯誤,指導解法,爭取一題多解,拓展思路,通過變式訓練再進行方法鞏固.
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