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2019-2020年高中數學必修四 4-1.2.1《任意角的三角函數》(一)教案

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?2019-2020年高中數學必修四 4-1.2.1《任意角的三角函數》(一)教案教學目的:知識目標:1.掌握任意角的三角函數的定義; 2.已知角α終邊上一點,會求角α的各三角函數值;3.記住三角函數的定義域、值域,誘導公式(一)。能力目標:(1)理解并掌握任意角的三角函數的定義;(2)樹立映射觀點,正確理解三角函數是以實數為自變量的函數; (3)通過對定義域,三角函數值的符號,誘導公式一的推導,提高學生分析、探究、解決問題的能力。 德育目標: (1)使學生認識到事物之間是有聯系的,三角函數就是角度(自變量)與比值(函數值)的一種聯系方式; (2)學習轉化的思想,培養學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神;教學重點:任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號),以及這三種函數的第一組誘導公式。公式一是本小節的另一個重點。教學難點:利用與單位圓有關的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數值分別用他們的集合形式表示出來. 教學過程: 一、復習引入:初中銳角的三角函數是如何定義的?在Rt△ABC中,設A對邊為a,B對邊為b,C對邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依次為 .角推廣后,這樣的三角函數的定義不再適用,我們必須對三角函數重新定義。二、講解新課: 1.三角函數定義在直角坐標系中,設α是一個任意角,α終邊上任意一點(除了原點)的坐標為,它與原點的距離為,那么(1)比值叫做α的正弦,記作,即; (2)比值叫做α的余弦,記作,即; (3)比值叫做α的正切,記作,即; (4)比值叫做α的余切,記作,即; 說明:①α的始邊與軸的非負半軸重合,α的終邊沒有表明α一定是正角或負角,以及α的大小,只表明與α的終邊相同的角所在的位置; ②根據相似三角形的知識,對于確定的角α,四個比值不以點在α的終邊上的位置的改變而改變大??; ③當時,α的終邊在軸上,終邊上任意一點的橫坐標都等于,所以無意義;同理當時,無意義;④除以上兩種情況外,對于確定的值α,比值、、、分別是一個確定的實數, 正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量,比值為函數值的函數,以上四種函數統稱為三角函數。函 數定 義 域值 域2.三角函數的定義域、值域注意: (1)在平面直角坐標系內研究角的問題,其頂點都在原點,始邊都與x軸的非負半軸重合. (2) α是任意角,射線OP是角α的終邊,α的各三角函數值(或是否有意義)與ox轉了幾圈,按什么方向旋轉到OP的位置無關. (3)sin是個整體符號,不能認為是“sin”與“α”的積.其余五個符號也是這樣. (4)任意角的三角函數的定義與銳角三角函數的定義的聯系與區別: 銳角三角函數是任意角三角函數的一種特例,它們的基礎共建立于相似(直角)三角形的性質,“r”同為正值. 所不同的是,銳角三角函數是以邊的比來定義的,任意角的三角函數是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的,它也適合銳角三角函數的定義.實質上,由銳角三角函數的定義到任意角的三角函數的定義是由特殊到一般的認識和研究過程. (5)為了便于記憶,我們可以利用兩種三角函數定義的一致性,將直角三角形置于平面直角坐標系的第一象限,使一銳角頂點與原點重合,一直角邊與x軸的非負半軸重合,利用我們熟悉的銳角三角函數類比記憶.3.例題分析例1.求下列各角的四個三角函數值: (通過本例總結特殊角的三角函數值)(1); (2); (3). 解:(1)因為當時,,,所以, , , 不存在。(2)因為當時,,,所以, , , 不存在,(3)因為當時,,,所以, , 不存在, ,例2.已知角α的終邊經過點,求α的四個函數值。解:因為,所以,于是; ;; . 例3.已知角α的終邊過點,求α的四個三角函數值。解:因為過點,所以, 當;;當;; .4.三角函數的符號由三角函數的定義,以及各象限內點的坐標的符號,我們可以得知:①正弦值對于第一、二象限為正(),對于第三、四象限為負();②余弦值對于第一、四象限為正(),對于第二、三象限為負();③正切值對于第一、三象限為正(同號),對于第二、四象限為負(異號).說明:若終邊落在軸線上,則可用定義求出三角函數值。練習: 確定下列三角函數值的符號:(1); (2); (3); (4).例4.求證:若且,則角是第三象限角,反之也成立。5.誘導公式由三角函數的定義,就可知道:終邊相同的角三角函數值相同。即有:,,其中.,這組公式的作用是可把任意角的三角函數值問題轉化為0~2π間角的三角函數值問題.例5.求下列三角函數的值:(1), (2),例6.求函數的值域解: 定義域:cosx10 ∴x的終邊不在x軸上 又∵tanx10 ∴x的終邊不在y軸上∴當x是第Ⅰ象限角時, cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………, |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2…………ⅢⅣ………, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0四、小 結:本節課學習了以下內容:1.任意角的三角函數的定義;2.三角函數的定義域、值域;3.三角函數的符號及誘導公式。五、鞏固與練習1、教材P15面練習;2、作業P20面習題1.2A組第1、2、3(1)(2)(3)題及P21面第9題的(1)、(3)題。
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1.2.1 必修 高中 數學 任意角的三角函數 2019 教案
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