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2019-2020年高中數學必修一:3-2-2(1)函數模型的應用實例 教案

'2019-2020年高中數學必修一:3-2-2(1)函數模型的應用實例 教案'
?2019-2020年高中數學必修一:3-2-2(1)函數模型的應用實例 教案教學目標:知識與技能 能夠找出簡單實際問題中的函數關系式,初步體會應用一次函數、二次函數模型解決實際問題.過程與方法 感受運用函數概念建立模型的過程和方法,體會一次函數、二次函數模型在數學和其他學科中的重要性.情感、態度、價值觀 體會運用函數思想和處理現實生活和社會中的簡單問題的實用價值.教學重點難點:重點 運用一次函數、二次函數模型的處理實際問題.難點 運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的簡單問題.一、新課引入:大約在一千五百年前,大數學家孫子在《孫子算經》中記載了這樣的一道題:“今有雛兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雛兔各幾何?”這四句的意思就是:有若干只雞和兔在同一個籠子里,從上面數,有三十五個頭;從下面數,有九十四只腳。求籠中各有幾只雞和兔?你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎? 你有什么更好的方法?原來孫子提出了大膽的設想。分析解答:介紹孫子的大膽解法:他假設砍去每只雞和兔一半的腳,則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”。這樣,“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數量與它們頭的數量之差,就是兔子數,即:47-35=12;雞數就是:35-12=23。激發學生學習興趣,增強其求知欲望.用方程的思想解答“雞兔同籠”問題.二、師生互動,新課講解:例1(課本P102例3).一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系如圖所示.1) 寫出速度關于時間的函數解析式;2) 寫出汽車行駛路程關于時間的函數關系式,并作圖象;3) 求圖中陰影部分的面積,關說明所求面積的實際含義;4) 假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數為2004km,試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數與時間的函數解析式,并作出相應的圖象.探索:1)將圖中的陰影部分隱去,得到的圖象什么意義?2)圖中每一個矩形的面積的意義是什么?3)汽車的行駛里程與里程表讀數之間有什么關系?它們關于時間的函數圖象又有何關系?本例所涉及的數學模型是確定的,需要我們利用問題中的數據及其蘊含的關系建立數學模型.此題的主要意圖是讓學生用函數模型(分段函數)刻畫實際問題.(1)獲得路程關于時間變化的函數解析式:(2)根據解析式畫出汽車行駛路程關于時間變化的圖象.例2(課本P103例4).人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規律,可以為有效控制人口增長提供依據.早在1798,英國經濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態下的人口增長模型:其中表示經過的時間,表示=0時的人口數,表示人口的年平均增長率.下表是1950~1959年我國的人口數據資料:(單位:萬人)年份19501951195219531954人數5519656300574825879660266年份19551956195719581959人數61456628286456365994672071)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001),用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型,并檢驗所得模型與實際人口數據是否相符;2)如果按表中的增長趨勢,大約在哪一年我國的人口將達到13億?探索:1) 本例中所涉及的數量有哪些?2) 描述所涉及數量之間關系的函數模型是否是確定的,確定-省略部分-數型函數模型,它由與兩個參數決定,而與的值不難得到.本題意在讓學生驗證問題中的數據與所提供的數學模型是否吻合,并用數學模型解釋實際問題,并利用模型進行預測,這也是此題的難點.借助計算器做出函數圖象,比較與實際的吻合度.課堂練習(課本P104練習 NO:1;2)例3:某公司生產一種電子儀器的固定成本為20 000元,每生產一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數:R(x)=.其中x是儀器的月產量.(1)將利潤表示為月產量的函數f(x);(2)當月產量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?(總收益=總成本+利潤)分析 由題目可獲取以下主要信息:①總成本=固定成本+100x;②收益函數為一分段函數.解答本題可由已知總收益=總成本+利潤,總利潤=總收益-總成本.由于R(x)為分段函數,所以f(x)也要分段求出,將問題轉化為分段函數求最值問題.解 (1)設每月產量為x臺,則總成本為20 000+100x,從而f(x)=.(2)當0≤x≤400時,f(x)=-(x-300)2+25 000,∴當x=300時,有最大值25 000;當x>400時,f(x)=60 000-100x是減函數,f(x)<60 000-100×400<25 000.∴當x=300時,f(x)的最大值為25 000.∴每月生產300臺儀器時,利潤最大,最大利潤為25 000元.點評 在函數應用題中,已知的等量關系是解題的依據,像此題中的利潤=總收益-總成本,又如“銷售額=銷售價格×銷售數量”等.像幾何中的面積、體積公式,物理學中的一些公式等,也常用來構造函數關系.三、課堂小結,鞏固反思:四、布置作業:A組:1.一個高為H,盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖所示,現以均勻速度往水瓶中灌水,直到灌滿為止,如果水深h時水的體積為V,則函數V=f(h)的圖象大致是(  )答案 D解析 考察相同的Δh內ΔV的大小比較.2用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超過1%,則至少要洗的次數是(  )A.3    B.4    C.5    D.6答案 B解析 設至少要洗x次,則x≤,∴x≥≈3.32,因此至少要洗4次.3(課本P107習題3.2 A組 NO:2)4(課本P107習題3.2 A組 NO:3)5(課本P107習題3.2 A組 NO:4)(只列出總造價的表達式,并化簡即可)6燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬,研究燕子的科學家發現,兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數v=5log2,單位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(1)計算:燕子靜止時的耗氧量是多少個單位?(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時,它的飛行速度是多少?分析 由題目可獲取以下主要信息:①已知飛行速度是耗氧量的函數;②第(1)問知v,求Q;第(2)問知Q,求v.解答本題的關鍵是給變量賦值.解 (1)由題知,當燕子靜止時,它的速度v=0,代入題給公式可得:0=5log2,解得Q=10.即燕子靜止時的耗氧量是10個單位.(2)將耗氧量Q=80代入題給公式得:v=5log2=5log28=15 (m/s).即當一只燕子的耗氧量是80個單位時,它的飛行速度為15 m/s.點評 直接以對數函數為模型的應用問題不是很多.此類問題一般是先給出對數函數模型,利用對數運算性質求解.B組:1、(課本P107習題3.2 B組 NO:2)
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