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2019-2020年高中數學北師大版選修2-2第2章 拓展資料:活用導數四則運算法則求函數的導數

'2019-2020年高中數學北師大版選修2-2第2章 拓展資料:活用導數四則運算法則求函數的導數'
?2019-2020年高中數學北師大版選修2-2第2章 拓展資料:活用導數四則運算法則求函數的導數導數的運算是進一步學習導數的基礎,導數的四則運算更是導數后續學習的基石。高考說明中對導數的運算部分為B級(理解)要求,課程標準中也指出要求學生會利用導數的運算法則來求解導數,同時也應該避免過量的形式化的運算練習。下面通過實例幫助同學們進一步的理解四則運算法則:一、函數的和、差的導數例1、求下列函數的導數(1),(2), 析:根據導數的加減運算法則: 易求得導數。解:(1) , (2)點評:記住常見函數的導數是正確求解導數的關鍵,另外函數和、差的導數公式推廣到多個函數的和、差形式后仍然成立。同步練習:(1) (2)答案:(1), (2) 二、函數的積的導數例2、求下列函數的導數(1), (2) 析:牢記,特別要注意不要和進行混淆。同時要記住若C為常數,則,由此進一步可以得到。解:(1)法一:法二:因為,故(2)法一:法二:原式可化簡為,故點評:一般地,在可能的情況下盡量少用或者不用乘法的導數法則,所以在求導之前,應利用代數、三角恒等變形等對函數進行化簡,然后再求導,這樣可以減少運算量,從而提高運算速度,避免差錯。同步練習:(1), (2) 答案:(1), (2)三、函數的商的導數例3、求下列函數的導數 (1) (2) (3)析:正確利用商的導數的求導法則即可,要避免發生,及這樣的錯誤。對于(2)表面看不符合商式的運算形式,但是切化弦后不難發現易用公式求解。解:(1), (2)因為。故(3)因為,故點評:本題的(3)應引起同學們的注意,對于比較復雜的函數,如果直接套用求導法則,會使求導過程繁瑣冗長,且易出錯,此時可將解析式進行合理變形,轉化為較易求導的結構形式,再求導數。同步練習:(1)函數的導數為 。(2)設,則y′= 。 (3)函數的導數為 。答案:(1), (2),故, (3),故。四、導數運算法則的綜合運用例4、(1)已知,則 。 (2)已知,則= 。析:(1)本題中理解為一個常數為解題的關鍵。(2)要根據試題式子結構以及求解結論靈活運用導數的乘法法則即可。解:(1)由題意,令,,于是。(2)令,于是,所以,令。點評:賦值思想在(1)中得到了很好的體現,整體思想在(2)中也被發揮的淋漓盡致,同學們要好好體會這兩種思想方法。同步練習:(1)已知,則 。(2)設,則= 。答案:(1)由例題知,故在中令得7。(2)令,則,故。例5、(1)已知,且函數在出切線的斜率為20,求值。 (2)若函數處的導數值與函數值互為相反數,求得值。析:對于(1)由導函數在某點處的函數值的幾何意義為該點處切線的斜率這一結論易求得的值;對于(2)正確求導后利用條件可求。解:(1)由題意,故,因為函數在出切線的斜率為20。(2)因為,故由題意,。點評:對于(1)也可以利用復合函數的求導法則進行。高考一般不會直接考查導數的四則運算,而是和其他知識點綜合考查。這類題目屬于中低檔題,只要方法得當,運算準確便可得分。同步練習:(1)已知函數,且,求。(2)函數,若求值。答案:(1),由,得。(2)因為,由得,故。例6、已知函數,滿足,,求函數的圖像在處的切線方程。析:本題特點是抽象函數,但是只要抓住題目的特征及導數的幾何意義問題亦不難解決。解:由題意,故,又,,故切線方程為,即。點評:本題為蘇北五市(徐淮連宿鹽)xx第三次調研試題,當時從統計看得分率并不高,主要原因是:一、導數的運算法則用錯,二、在代入有關數值或者運算時出錯。從這提醒同學們要加強運算能力的訓練,爭取考試中不出現非智力失分。希望同學們要透徹理解函數求導法則的結構內涵,注意挖掘知識的內在聯系及其規律,多體會公式運用的技巧、方法,以達到鞏固知識、提升能力的目的。
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