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工程數學基礎

'工程數學基礎'
?工程數學基礎習題解答一、 判斷題1.7;, 2.7; 3.x; 4.x; 5.x; 6.x; 7.x; 8.V; 9.7; 10.x.二、 填空題l.AcriBc; 2.,e},/(A)= (a,b,e},f-l(B) = {1,4},/-*W = {2,3};3?滿;4.supE = V^,inf E =—3; 5.0 ; 6.0; 7. /?; &F?B1.證 Vye /(AnB) , 3xg Ar\B 使得 y= /(x)?由 xg AcB,得 xw A ,且 xw B 故 .¥ = f(x) e f(A)且 y w f(B),即護 /(A) c /(B),因此 f(A cB)u f(A) cf(B).當f是單射時,只需證明/(A)c/(B) u f(AnB)即可:Vye /(A)n/(B)c^(/),由/是單射知 mlxw X,使Wy=/U).vye /(A),且嚴 /(B),r. xe ASjce 3,即兀w Ac 3,從而y = /(x)e /(AnB),故/(A)c/(B) u/(Ac 3).是可能的,例如,/:xi-= [-2, 0],B = [-l, 3],則AnB = [-l, 0].于=/([-l,0]) = [0, 1],而/(A)n/(B) = [0, 4]n[0, 9] = [0, 4].從而有8H=l2-證⑴ gN,有[-2 + £ 2-*]u(-2, 2),故 J-2 + 右 2-*]u(-2, 2).另一方面,Vxg (-2, 2),火丘N,使毗[-2 + *, 2-打故兀w [-2 +丄,2-丄],于是 K K . ZZ TIn=l(一2, 2)刃[一2 + 右2―抽因此,(-2, 2) = 0 [-2n=iOO(2) V/i€ N,W[—2, 2] c (—2 — —, 2 + 丄)9故[一2, 2] cz O(—2 — —, 24-—). n n 1 n nn=\另一方面,對任意血[-2, 2],即|x|>2 , 3Z:gN,使得同>2 + + >2 ,即兀住(一2 — *, 2 + *),從而xe2—丄,2 +丄),故2— 丄,2 +丄)u[—2,2]. k k 1 n n 1 ' n n?j=1 n=l因此,[-2,2] = pl (-2 -丄,2 +丄).1 ' n nH=13. 證 設sup A = jj,且supA=〃;要證sup A唯一,只需證明即可.因為“ = sup A是最小上界,而“'是/啲上界,故“ 又因為juf = sup 4是最小上界,而“是A的上界,故// < “;因此“=類似地可以證明inf A是唯一的.4. 證 設化鳥是線性空間X的一族子空間,要證也是X的線性子空間?顯然2打H0,z只需證明cy;對X的線性運算是封閉的.事實上,Vx,ye n}:及VQw K,,從而對每一個aw D,a^D a^D有X,yg打,故x+yw Yn,Axe打?于是,x+yw c打,加$ c打?因此c打是X的線性子空間.5. 證 顯然w包含零多項式,故非空;又及有(/+g)(o)+(/+&)'(())= /(())+g(o)+/‘(())+g‘(o)=r/(o)+/'(())]+[g(o)+/(())]=o+o=o,即 / + g w W; (2/)(0) + (Af/(O-省略部分-25()」().()()()()()().50.030()20.90.207250.20.001000.60.055111.00.292540.30.005000.70.09142(2)計算格式為兒+嚴兒+〃+()*+ 兒),"0,1,2,3.?V計算結果列于下表:Xn11.522.53兒-2.61803一 0.50000-0.58333-0.64410-0.689942.解計算格式為兒+嚴兒理(&+心)心=(心+疔+(兒+/*$.兒二0計算結果列于下表兒兒兒00.000000.40.022020.80.17539()」().()()()5()().50.042620.90.252370.20.003000.60.073641.00.351830.30.009500.70116813.解標準Runge - Kutta格式為兒廠兒+罟(&+2心+ 2£ +心二3兒1 + x“=3(兒+0.1KJn = 0J23,4._ 1」+乙3(兒+0.冬)11 + ?!?(兒 +0.2心)1.2 + xfi計算結果列于下表(準確解為y = (1 + x)3)K\心K\兒準確值01.0000010.23.000003.545453.694214.347021.727551.7280.44.318874.983315.136645.903312.742952.7440.65.877756.661456.818197.699864.094184.0960.87.676598.579728.739099.736675.829215.8321.09.7153510.7380210.8994912.013677.996018兒+】=兒 +£(K] +2K? +2K3 + KJZ”+l = Z“ + £ (厶 + 2 厶2 2 厶3 + 厶4)K嚴-8 兒+7z〃 L\=丘+兒6 K2=_8(兒 + 纟 KJ_7(z〃+號厶)<厶2=(?!?鏟+(兒+押)億+號厶)(" +,= O,12???,N-1). K嚴-亂兒+號?)+ 7匕+鋌)厶=(X” + 號)2 + (兒 + ¥ K? )(Z“ + ¥ 厶2)氏=- 8(兒 + 力心)+ 7(z〃 + hL2) 厶4 =(xn + 防? + (yH + hK3)(zn + hL3) y()= 1, z° = °5.解令y=z,初值問題化為/y = z< zz = - sin y ,y(O) = l,z(O) = lEuler格式為兒+嚴兒+ hZn* zn+l = zn -h sin y”,〃 = 0,1,2,…,N — 1 ? y0 = 1, z° = 1改進Euler格式為72 = 0,1,2,…,N — l兒+嚴兒+》&+?) z”+i =z”+§(厶 + 厶2) K嚴 ztlL\ =_sin 兒K? — zn + 叫L2 =-sin(兒 +/iKJy()= i, 20 = 1
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數學 工程 基礎
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